Chuyên đề tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác

Vấn đề ①: Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước thức chứa lũy thừa.

Phương pháp:

Xác định \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = k\)

Tìm nguyên hàm \(f\left( x \right)\).

Thế điều kiện \(f\left( {{x_0}} \right) = k\) tìm hằng số C

Kết luận cho bài toán.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm \(f\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sin \left( {\pi – 2x} \right)\) thỏa mãn \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

Ⓐ. \(f(x) = \frac{{ – \cos (\pi – 2x)}}{2} + \frac{1}{2}\). 

Ⓑ. \(f(x) = \frac{{\cos (\pi – 2x)}}{2} + \frac{1}{2}\).

Ⓒ.\(f(x) = \frac{{\cos (\pi – 2x)}}{2} + 1\). 

Ⓓ. \(f(x) = \frac{{\cos (\pi – 2x)}}{2} – \frac{1}{2}\).

Lời giải

Chọn B

\(f\left( x \right) = \int {\sin \left( {\pi – 2x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{\cos \left( {\pi – 2x} \right)}}{2} + {\rm{C}}\)

\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}\)

Vậy \(f(x) = \frac{{\cos (\pi – 2x)}}{2} + \frac{1}{2}\)

Vấn đề ②: Phương pháp đổi biến số. 

- Định lí: Cho hàm số \(u = u\left( x \right)\) có đạo hàm và liên tục trên trên \(K\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) liên tục sao cho \(f\left[ {u\left( x \right)} \right]\) xác định trên \(K\). Khi đó nếu hàm số \(f\left( u \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( u \right)\), tức là: \(\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]} u’\left( x \right)du = F\left[ {u\left( x \right)} \right] + C\)

- Phương pháp:

Từ đó ta có hai cách đổi biến số trong việc tính nguyên hàm như sau:

Đặt biến số: \(t = u\left( x \right)\)

Suy ra: \(dt = du\left( x \right) = u’\left( x \right)dx\) rồi đưa về việc tính nguyên hàm

\(I = \int {f\left[ {u\left( x \right)} \right].u’\left( x \right)dx = \int {f\left( t \right)dt} } \) đơn giản hơn.

Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm \(\int {{{\cos }^2}x\sin x\;dx} \) ta được kết quả là

Ⓐ. \( – {\cos ^2}x + C\). 

Ⓑ. \(\frac{1}{3}{\cos ^3}x + C\). 

Ⓒ.\( – \frac{1}{3}{\cos ^3}x + C\). 

Ⓓ. \(\frac{1}{3}{\sin ^3}x + C\).

Lời giải

Chọn C

\(\int {{{\cos }^2}x\sin x\;dx} = – \int {{{\cos }^2}x\;d\left( {\cos x} \right)} = – \frac{1}{3}{\cos ^3}x + C\).

Vấn đề ③: Phương pháp từng phần

-Phương pháp:

Cho hai hàm số \(u\;\)và \(v\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Khi đó:\(\smallint udv = uv – \smallint vdu.\) \(\left( * \right)\)

Để tính nguyên hàm \(\smallint f\left( x \right)dx\) bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1. Chọn \(u,\;v\) sao cho \(f\left( x \right)dx = udv\) (chú ý \(\;dv = v’\left( x \right)dx\)).

Sau đó tính \(v = \smallint dv\) và \(du = u’.dx\).

Bước 2. Thay vào công thức và tính \(\smallint vdu\).

①.Dạng 1. \(I = \int {P\left( x \right)\left[ \begin{array}{l}\sin x\\\cos x\end{array} \right]{\rm{d}}x} \), trong đó \(P\left( x \right)\) là đa thức

.Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = P\left( x \right)\\{\rm{d}}v = \left[ \begin{array}{l}\sin x\\\cos x\end{array} \right]{\rm{d}}x\end{array} \right.\).

②. Dạng 2. \(I = \int {P\left( x \right){e^{ax + b}}{\rm{d}}x} \), trong đó \(P\left( x \right)\) là đa thức

.Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = P\left( x \right)\\{\rm{d}}v = {e^{ax + b}}{\rm{d}}x\end{array} \right.\).

③. Dạng 3. \(I = \int {P\left( x \right)\ln \left( {mx + n} \right){\rm{d}}x} \), trong đó \(P\left( x \right)\) là đa thức

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {mx + n} \right)\\{\rm{d}}v = P\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right.\).

Ví dụ 3. Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\cos 2x\) là

Ⓐ. \(\frac{{x\sin 2x}}{2} + \frac{{\cos 2x}}{4} + C\). 

Ⓑ. \(x\sin 2x – \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).

Ⓒ.\(x\sin 2x + \frac{{\cos 2x}}{2} + C\). 

Ⓓ. \(\frac{{x\sin 2x}}{2} – \frac{{\cos 2x}}{4} + C\).

Lời giải

Chọn A

\(I = \int {x\cos 2x{\rm{d}}x} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = \cos 2x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\v = \frac{1}{2}\sin 2x\end{array} \right.\).

Khi đó \(I = \frac{1}{2}x\sin 2x – \frac{1}{2}\int {\sin 2x{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\)

Câu 1. Tìm tất cả nguyên hàm \(f\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = x – \frac{1}{x}\).

A. \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} – \ln x + C\). 

B. \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} – \ln \left| x \right|\).

C. \(f\left( x \right) = 1 – \ln \left| x \right| + C\). 

D. \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} – \ln \left| x \right| + C\).

Câu 2: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}\). Tìm tất cả các hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{4036}} + 2018\).

A. \(\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{2018}} + 2018\). 

B. \(f\left( x \right) = 2017{\left( {2x + 1} \right)^{2016}} + 2018\).

C. \(f’\left( x \right) = f\left( x \right)\) và \(f\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 2018\). 

D. \(f\left( x \right) = 4034{\left( {2x + 1} \right)^{2016}} + 2018\).

Câu 3: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{1 – x}}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Tính \(f\left( 5 \right)\).

A. \(f\left( 5 \right) = 2\ln 2\). 

B. \(f\left( 5 \right) = \ln 4 + 1\).

C. \(f\left( 5 \right) = – 2\ln 2 + 1\). 

D. \(f\left( 5 \right) = – 2\ln 2\).

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 4x\).

A. \(\int {f\left( x \right)dx} = – 4\cos 4x + C\). 

B. \(\int {f\left( x \right)dx} = 4\cos 4x + C\).

C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{4}\cos 4x + C\). 

D. \(\int {f\left( x \right)dx} = – \frac{1}{4}\cos 4x + C\).

Câu 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}}\).

A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {3^x} + \frac{1}{x} + C\). 

B. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{x} + C\).

C. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {3^x} – \frac{1}{x} + C\). 

D. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} – \frac{1}{x} + C\).

Câu 6: Tính nguyên hàm \(\int {\frac{1}{{1 + x}}dx} \).

A. \(\log \left| {1 + x} \right| + C\). 

B. \(\ln \left( {1 + x} \right) + C\). 

C. \(\ln \left| {1 + x} \right| + C\). 

D. \( – \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} + C\).

Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số \(y = 2x + 1\) là

A. \(\frac{{{x^2}}}{2} + x + C\). 

B. \(2x + 1 + C\). 

C. \({x^2} + x + C\). 

D. \(2x + C\).

Câu 8: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin \left( {2x + 1} \right)\) là:

A. \(f(x) = – \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right) + C\). 

B. \(f(x) = \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right) + C\).

C. \(f(x) = – \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)\). 

D. \(f(x) = \cos \left( {2x + 1} \right)\).

Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 1\) là

A. \({x^2} + x\) 

B. \(2\) 

C. \(C\) 

D. \({x^2} + x + C\)

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số \(y = \cos 3x\) là

A. \(\frac{{\sin 3x}}{3} + C\)(\(C\) là hằng số) 

B. \( – \frac{{\sin 3x}}{3} + C\) (\(C\) là hằng số)

C. \(\sin 3x + C\) (\(C\) là hằng số) 

D. \( – \sin 3x + C\) (\(C\) là hằng số)

ĐÁP ÁN

1.D

2.C

3.C

4.D

5.D

6.C

7.C

8.A

9.D

10.A

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tìm nguyên hàm của hàm số đơn giản

• Bài tập vận dụng cao về nguyên hàm

Chúc các em học tập tốt!