Chuyên đề tìm nguyên hàm của hàm số đơn giản

1. Phương pháp:

Định nghĩa: Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\;\)trên \(K\) nếu \(f’\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(K\).

2. Tính chất:

\(\smallint \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx = \smallint f\left( x \right) \pm \smallint g\left( x \right)dx\).

\(\smallint kf\left( x \right)dx = k\smallint f\left( x \right)dx,\forall k \in {\mathbb{R}^*} \Rightarrow \) \(\smallint \left[ {k.f\left( x \right) + l.g\left( x \right)} \right]dx = k\smallint f\left( x \right)dx + l\smallint g\left( x \right)dx\).

\({\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f(x) + C\)

3. Bảng nguyên hàm:

\(\smallint dx = x + C\) \(\smallint {x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne – 1} \right)\) \(\smallint \frac{{dx}}{x} = \ln |x| + C\) \(\smallint \frac{{dx}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{x} + C\)	▪ \(\smallint kdx = kx + C\) ▪ \(\smallint {(kx + b)^\alpha }dx = \frac{1}{k}\frac{{{{\left( {kx + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne – 1} \right)\) ▪ \(\smallint \frac{{dx}}{{kx + b}} = \frac{1}{k}\ln \left| {kx + b} \right| + C\) ▪ \(\smallint \frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + C\)
\(\smallint \sin xdx = – \cos x + C\) \(\smallint \cos xdx = \sin x + C\) \(\smallint \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C\) \(\smallint \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx = \tan x + C\) \(\smallint \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x + C\) \(\smallint \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)dx = – \cot x + C\)	▪ \(\smallint \sin (kx + b)dx = – \frac{1}{k}\cos (kx + b) + C\) ▪ \(\smallint \cos (kx + b)dx = \frac{1}{k}\sin (kx + b) + C\) ▪ \(\smallint \frac{1}{{{{\cos }^2}(kx + b)}}dx = \frac{1}{k}\tan (kx + b) + C\) ▪ \(\smallint \frac{1}{{{{\sin }^2}(kx + b)}}dx = – \frac{1}{k}\cot (kx + b) + C\)
\(\smallint {e^x}dx = {e^x} + C\) \(\smallint {a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)\)	▪ \(\smallint {e^{kx + b}}dx = \frac{1}{k}{e^{kx + b}} + C\) ▪ \(\smallint {a^{kx + b}}dx = \frac{1}{k}\frac{{{a^{kx + b}}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)\)

Ví dụ 1: Tất cả nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}\) là

Ⓐ. \(\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C\). 

Ⓑ. \(\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C\).

Ⓒ. \(\ln \left| {2x + 3} \right| + C\). 

Ⓓ. \(\frac{1}{{\ln 2}}\ln \left| {2x + 3} \right| + C\).

Lời giải

Chọn A

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \int {\frac{1}{{2x + 3}}{\rm{d}}} x = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{2x + 3}}{\rm{d}}} \left( {2x + 3} \right)\\ = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C\end{array}\)

Ví dụ 2: Nếu \(\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 4{x^3} + {x^2} + C\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) bằng

Ⓐ. \(f\left( x \right) = {x^4} + \frac{{{x^3}}}{3} + Cx\). 

Ⓑ. \(f\left( x \right) = 12{x^2} + 2x + C\).

Ⓒ.\(f\left( x \right) = 12{x^2} + 2x\). 

Ⓓ. \(f\left( x \right) = {x^4} + \frac{{{x^3}}}{3}\).

Lời giải

Chọn B

Ta có: \(f\left( x \right) = {\left( {\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x} \right)^\prime } = {\left( {4{x^3} + {x^2} + C} \right)^\prime } = 12{x^2} + 2x\)

Ví dụ 3: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{2x – 1}}\) với mọi \)x \ne \frac{1}{2}\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Khi đó giá trị của \(f\left( 5 \right)\) bằng

Ⓐ. \(\ln 2\). 

Ⓑ.\(\ln 3\). 

Ⓒ.\(\ln 2 + 1\). 

Ⓓ. \(\ln 3 + 1\).

Lời giải

Chọn D

Ta có: \(\int {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( x \right) + C\) nên \(f\left( x \right) = \int {\frac{1}{{2x – 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {\frac{{{\rm{d}}\left( {2x – 1} \right)}}{{2x – 1}} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x – 1} \right|} + C\)

Mặt khác theo đề ra ta có: \(f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln \left| {2.1 – 1} \right| + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\) nên \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x – 1} \right| + 1\)

Do vậy \(f\left( 5 \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2.5 – 1} \right| + 1 = \frac{1}{2}\ln 9 + 1 = \ln 3 + 1\)

Câu 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \cos x\).

A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C\). 

B. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1 – \sin x + C\).

C. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x\sin x + \cos x + C\). 

D. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} – \sin x + C\).

Câu 2: Cho các hàm số \(f\left( x \right)\), \)g\left( x \right)\) liên tục trên tập xác định. Tìm mệnh đề sai?

A. \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} \).

B. \(\int {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( x \right) + C\).

C. \(\int {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), \(\forall k \in \mathbb{R}\).

D. \(\int {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Câu 3: Tìm \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2 – 3x}}} \)

A. \(\frac{1}{3}\ln \left| {2 – 3x} \right| + C\)

B. \(\frac{1}{{{{\left( {2 – 3x} \right)}^2}}} + C\). 

C. \( – \frac{1}{3}\ln \left| {3x – 2} \right| + C\). 

D. \( – \frac{3}{{{{\left( {2 – 3x} \right)}^2}}} + C\).

Câu 4: Một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2}\) là

A. \(f\left( x \right) = {x^3} + x\). 

B. \(f\left( x \right) = {x^3} + 1\). 

C. \(f\left( x \right) = 6x\). 

D. \(f\left( x \right) = 3{x^3}\).

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây sai.

A. \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \).

B. Nếu \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\) thì \(\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C\).

C. Nếu \(f\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)thì \(f\left( x \right) = G\left( x \right) + C\)với C là hằng số.

D. \(\int {\left[ {{f_1}\left( x \right) + {f_2}(x)} \right]dx} = \int {{f_1}\left( x \right)dx} + \int {{f_2}\left( x \right)dx} \).

Câu 6: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = – 2\sin 2x + C} \) 

B. \(\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = 2{\rm{sin}}2x + C} \)

C. \(\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + C} \) 

D. \(\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = – \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + C} \)

Câu 7: Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) là một nguyên hàm của hàm số

A. \(f\left( x \right) = 2x – {\rm{cos}}\,x\). 

B. \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + {\rm{cos}}\,x\).

C. \(f\left( x \right) = 2x + {\rm{cos}}\,x\).

D. \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – {\rm{cos}}\,x\).

Câu 8: Cho biết \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm \(I = \int {\left[ {2f\left( x \right) + 1} \right]{\rm{d}}x} \)

A. \(I = 2F\left( x \right) + 1 + C\). 

B. \(I = 2F\left( x \right) + x + C\).

C. \(I = 2xF\left( x \right) + x + C\). 

D. \(I = 2xF\left( x \right) + 1 + C\).

Câu 9: Tìm nguyên hàm \(f\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\).

A. \(f\left( x \right) = – 2\cos 2x + C\). 

B. \(f\left( x \right) = 2\cos 2x + C\).

C. \(f\left( x \right) = – \frac{1}{2}\cos 2x + C\). 

D. \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos 2x + C\).

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x – \sin 2x\) là

A. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \cos 2x + C\). 

B. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C\).

C. \({x^2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C\). 

D. \(\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{2}\cos 2x + C\).

ĐÁP ÁN

1.A

2.C

3.C

4.B

5.A

6.C

7.C

8.B

9.C

10.B

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tìm nguyên hàm của hàm số đơn giản. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác

• Bài tập vận dụng cao về nguyên hàm

Chúc các em học tập tốt!