10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Số học)

10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
(Chuyên đề: Số học)

 

Câu 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(2{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 3{y^2} - 19 = 0\)  

Câu 2: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn \(a + 1\) và \(b + 2019\) đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng 4a  + a + b chia hết cho 6.

Câu 3: Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số \(\overline {abc{\rm{d}}e} \) sao cho \(\overline {abc}  = (10{\rm{d}} + e)\) chia hết cho 101?

Câu 4: (PHNK- ĐHQG Tp Hồ Chí Minh 2013-2014)
Cho \(M = {a^2} + 3{\rm{a}} + 1\) với a là số nguyên dương.
a) Chứng minh mọi ước số của M đều là số lẻ.
b) Giả sử M chia hết cho 5, tìm a. Với giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5?

Câu 5: Cho x, y, z là các số tự nhiên thỏa \({x^2} + {y^2} = {z^2}\). Chứng minh rằng xyz chia hết cho 60.

Câu 6: (KHTN- ĐHQG Hà Nội 2013-2014)
Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: \(5{{\rm{x}}^2} + 8{y^2} = 20412\)

Câu 7: Cho \({S_n} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1);(n \in {\mathbb{N}^*})\)
Chứng minh rằng \(3.{S_n}.(n + 3) + 1\) là một số chính phương

Câu 8: Giải hệ phương trình nghiệm nguyên sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = z\\{x^3} + {y^3} = {z^2}\end{array} \right.\)

Câu 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \({x^2} - 3{y^2} + 2{\rm{x}}y - 2{\rm{x}} - 10y + 4 = 0\).

Câu 10: Chứng minh tổng \(S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{2018}} + {2^{2019}}\) chia hết cho 31.

Hướng dẫn giải 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên:

Câu 1:
Theo đề \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên:
\(2{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 3{y^2} - 19 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x + 2}} + 3{y^2} = 21\)
\( \Leftrightarrow 2{(x + 1)^2} + 3{y^2} = 21\)
Vì \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên \(3{y^2} \le 21 \Leftrightarrow {y^2} \le 7 \Leftrightarrow |y| \le 2\)
\(\left[ \begin{array}{l}y =  \pm 2 \Rightarrow 2{(x + 1)^2} = 9(l)\\y = 0 \Rightarrow 2{(x + 1)^2} = 21(l)\\y =  \pm 1 \Rightarrow 2{(x + 1)^2} = 18 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy cặp nghiệm \((x;y) \in \)\({\rm{\{ }}(2;1),(2; - 1),( - 4;1),( - 4; - 1){\rm{\} }}\)

Câu 2:
Vì \((a + 1) \vdots 6,a \in \mathbb{N} \Rightarrow a \ge 5\)
Từ giả thiết \(a + 1 \vdots 6;b + 2019 \vdots 6 \Rightarrow a + b + 2020 = (a + b + 4 + 336.6) \vdots 6\).
Vậy ta chỉ cần chứng minh \(({4^a} - 4) \vdots 6\)
Mặc khác: \({4^a} - 4 = 4({4^{a - 1}} - 1) = 4\left( {\frac{{{4^a}}}{4} - 1} \right) \vdots ({4^{5 - 1}} - 1) = 255 \vdots 3\)
Vậy 4a  + a + b chia hết cho 6.

Trên đây là một phần trích dẫn 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Số học). Để xem đầy đủ nội dung và đáp án chi tiết các em vui lòng đăng nhập website Hoc247.Net chọn xem Online hoặc tải về máy tính. Chúc các em đạt kết quả tốt.