Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 6 Luyện tập (trang 215, 216)

Chứng minh rằng:

\(\begin{array}{l}
a)\sin 3\alpha  = 3\sin \alpha  - 4{\sin ^3}\alpha ;\cos 3\alpha  = 4{\cos ^3}\alpha  - 3\cos \alpha \\
b)\sin \alpha \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \frac{1}{4}\sin 3\alpha \\
\,\,\,\,\,\cos \alpha \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \frac{1}{4}\cos 3\alpha 
\end{array}\)

Ứng dụng: Tính sin 20⁰ sin 40⁰ sin 80⁰ và tan 20⁰ tan 40⁰ tan 80⁰

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\sin 3\alpha  = \sin \left( {2\alpha  + \alpha } \right) = \sin 2\alpha \cos \alpha  + \sin \alpha \cos 2\alpha \\
 = 2\sin \alpha {\cos ^2}\alpha  + \sin \alpha \left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha \,} \right)\\
 = 2\sin \alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) + \sin \alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)\\
 = 3\sin \alpha  - 4{\sin ^3}\alpha \\
\cos 3\alpha  = \cos \left( {2\alpha  + \alpha } \right) = \cos 2\alpha \cos \alpha  - \sin 2\alpha \sin \alpha \\
 = \left( {2{{\cos }^2}\alpha  - 1} \right)\cos \alpha  - 2{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \\
 = 2{\cos ^3}\alpha  - \cos \alpha  - 2\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right)\\
 = 4{\cos ^3}\alpha  - 3\cos \alpha 
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sin \alpha \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right)\\
 = \sin \alpha .\frac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha  - \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
 = \frac{1}{2}\sin \alpha \left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha  + \frac{1}{2}} \right)\\
 = \frac{1}{4}\sin \alpha \left( {3 - 4{{\sin }^2}\alpha } \right) = \frac{1}{4}\sin 3\alpha \\
\cos \alpha \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right)\\
 = \cos \alpha .\frac{1}{2}\cos \left( {\cos \alpha  + \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
 = \frac{1}{2}\cos \alpha \left( {2{{\cos }^2}\alpha  - 1 - \frac{1}{2}} \right)\\
 = \frac{1}{2}\cos \alpha \left( {4{{\cos }^2}\alpha  - 3} \right) = \frac{1}{4}\cos 3\alpha 
\end{array}\)

Ứng dụng:

\(\begin{array}{l}
\sin {20^0}\sin {40^0}\sin {80^0}\\
 = \sin {20^0}.\sin \left( {{{69}^0} - {{20}^0}} \right)\sin \left( {{{60}^0} + {{20}^0}} \right)\\
 = \frac{1}{4}\sin \left( {{{3.20}^0}} \right) = \frac{1}{4}\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}\\
\cos {20^0}\cos {40^0}\cos {80^0} = \frac{1}{4}\cos {60^0} = \frac{1}{8}\\
 \Rightarrow \tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0} = \sqrt 3 
\end{array}\)

---

Chứng minh rồi dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số để kiểm nghiệm lại gần đúng kết quả.

\(\begin{array}{l}
a)\cos {10^0}\cos {50^0}\cos {70^0} = \sin {20^0}\sin {40^0}\sin {80^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}\\
b)\sin {10^0}\sin {50^0}\sin {70^0} = \cos {20^0}\cos {40^0}\cos {80^0} = \frac{1}{8}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\cos {10^0}\cos {50^0}\cos {70^0} = \cos {10^0}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\cos {{120}^0} + \cos {{20}^0}} \right)} \right]\\
 =  - \frac{1}{4}\cos {10^0} + \frac{1}{2}\cos {10^0}\cos {20^0}\\
 =  - \frac{1}{4}\cos {10^0} + \frac{1}{4}\left( {\cos {{30}^0} + \cos {{10}^0}} \right) = \frac{1}{4}\cos {30^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}\\
 \Rightarrow \cos {10^0}\cos {50^0}\cos {70^0} = \sin {20^0}\sin {40^0}\sin {80^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sin {10^0}\sin {50^0}\sin {70^0} = \frac{1}{2}\left( {\cos {{20}^0} - \cos {{120}^0}} \right)\sin {10^0}\\
 = \frac{1}{4}\sin {10^0} + \frac{1}{2}\sin {10^0}\cos {20^0}\\
 = \frac{1}{4}\sin {10^0} + \frac{1}{4}\left( {\sin {{30}^0} - \sin {{10}^0}} \right)\\
 = \frac{1}{4}\sin {30^0} = \frac{1}{8}\\
 \Rightarrow \sin {10^0}\sin {50^0}\sin {70^0} = \cos {20^0}\cos {40^0}\cos {80^0} = \frac{1}{8}
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng: \(\cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7} =  - \frac{1}{2}\)

Hướng dẫn: Nhân vế trái với \(\frac{\pi }{7}\) (hoặc \(\frac{2\pi }{7}\)) rồi sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Hướng dẫn giải:

Đặt \(A = \cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7}\), ta có:

\(\begin{array}{l}
2A\sin \frac{\pi }{7} = 2\cos \frac{\pi }{7}\sin \frac{\pi }{7} + 2\cos \frac{{4\pi }}{7}\sin \frac{\pi }{7} + 2\cos \frac{{6\pi }}{7}\sin \frac{\pi }{7}\\
 = \left( {\sin \frac{{3\pi }}{7} - \sin \frac{\pi }{7}} \right) + \left( {\sin \frac{{5\pi }}{7} - \sin \frac{{3\pi }}{7}} \right) + \left( {\sin \frac{{7\pi }}{7} - \sin \frac{{5\pi }}{7}} \right) =  - \sin \frac{\pi }{7}\\
 \Rightarrow A =  - \frac{1}{2}
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x

\(\begin{array}{l}
a){\cos ^2}\left( {\alpha  + x} \right) + {\cos ^2}x - 2\cos \alpha \cos x.\cos \left( {\alpha  + x} \right)\\
b)\sin 4x.\sin 10x - \sin 11x.\sin 3x - \sin 7x.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}\left( {\alpha  + x} \right) + {\cos ^2}x - 2\cos \alpha \cos x.\cos \left( {\alpha  + x} \right)\\
 = \cos \left( {\alpha  + x} \right)\left[ {\cos \left( {\alpha  + x} \right) - 2\cos \alpha \cos x} \right] + {\cos ^2}x\\
 = \cos \left( {\alpha  + x} \right)\left( { - \cos \alpha \cos x - \sin \alpha \sin x} \right) + {\cos ^2}x\\
 =  - \cos \left( {\alpha  + x} \right)\cos \left( {\alpha  - x} \right) + {\cos ^2}x\\
 =  - \frac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha  + \cos 2x} \right) + {\cos ^2}x\\
 =  - \frac{1}{2}\cos 2\alpha  - \frac{{\cos 2x}}{2} + {\cos ^2}x =  - \frac{1}{2}\cos 2\alpha  + \frac{1}{2} = {\sin ^2}\alpha 
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sin 4x.\sin 10x - \sin 11x.\sin 3x - \sin 7x.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{2}\left( {\cos 6x - \cos 14x} \right) - \frac{1}{2}\left( {\cos 8x - \cos 14x} \right) - \frac{1}{2}\left( {\cos 6x - \cos 8x} \right) = 0
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

a) sin A = cos B + cos C thì tam giác ABC vuông

b) sin A =  2sin B.cos C thì tam giác ABC cân

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\sin A = \cos B + \cos C\\
 \Rightarrow \sin A = 2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}\\
 \Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}\left( {\cos \frac{A}{2} - \cos \frac{{B - C}}{2}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \cos \frac{A}{2} = \cos \frac{{B - C}}{2}\left( {\sin \frac{A}{2} \ne 0,do\,0 < A < \pi } \right)
\end{array}\)

Vì \(0 < \frac{A}{2} < \frac{\pi }{2};\left| {\frac{{B - C}}{2}} \right| < \frac{\pi }{2}\) nên:

\(\cos \frac{A}{2} = \cos \frac{{B - C}}{2} \Leftrightarrow \frac{A}{2} = \left| {\frac{{B - C}}{2}} \right| \Leftrightarrow A = \left| {B - C} \right|\)

• Nếu B > C thì A = B – C. Suy ra: S = \(\frac{\pi }{2}\)
• Nếu B < C thì A = C – B. Suy ra: C = \(\frac{\pi }{2}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sin A = 2\sin B.\cos C\\
 \Leftrightarrow \sin A = \sin \left( {B + C} \right) + \sin \left( {B - C} \right)\\
 \Leftrightarrow \sin A = \sin \left( {\pi  - A} \right) + \sin \left( {B - C} \right)\\
 \Leftrightarrow \sin \left( {B - C} \right) = 0
\end{array}\)

Vì \(0 \le \left| {B - C} \right| \le \pi \) nên B - C = 0

Vậy tam giác ABC cân tại A.

---

Chứng minh rằng nếu \(\alpha  + \beta  + \gamma  = \pi \) thì:

\(\begin{array}{l}
a)\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}\\
b)\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma  = 1 + 4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}\\
c)\sin 2\alpha  + \sin 2\beta  + \sin 2\gamma  = 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\
d){\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1 - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma \\
 = \sin \alpha  + 2\sin \frac{{\beta  + \gamma }}{2}\cos \frac{{\beta  - \gamma }}{2}\\
 = \sin \alpha  + 2\sin \frac{{\pi  - \alpha }}{2}\cos \frac{{\beta  - \gamma }}{2}\\
 = 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2} + 2\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{{\beta  - \gamma }}{2}\\
 = 2\cos \frac{\alpha }{2}\left( {\sin \frac{\alpha }{2} + \cos \frac{{\beta  - \gamma }}{2}} \right)\\
 = 2\cos \frac{\alpha }{2}\left[ {\sin \frac{{\pi  - \left( {\beta  + \gamma } \right)}}{2} + \cos \frac{{\beta  - \gamma }}{2}} \right]\\
 = 2\cos \frac{\alpha }{2}\left( {\cos \frac{{\beta  + \gamma }}{2} + \cos \frac{{\beta  - \gamma }}{2}} \right)\\
 = 4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma \\
 = 2\cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2} + 1 - 2{\sin ^2}\frac{\gamma }{2}\\
 = 2\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\gamma }{2}} \right)\cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2} + 1 - 2{\sin ^2}\frac{\gamma }{2}\\
 = 1 + 2\sin \frac{\gamma }{2}\left( {\cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2} - \sin \frac{\gamma }{2}} \right)\\
 = 1 + 2\sin \frac{\gamma }{2}\left( {\cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2} - \cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right)\\
 = 1 + 4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\sin 2\alpha  + \sin 2\beta  + \sin 2\gamma \\
 = 2\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) + 2\sin \gamma \cos \gamma \\
 = 2\sin \gamma \left[ {\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right]\\
 = 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma 
\end{array}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma \\
 = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2} + \frac{{1 + \cos 2\beta }}{2} + {\cos ^2}\gamma \\
 = 1 + \frac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha  + \cos 2\beta } \right) + {\cos ^2}\gamma \\
 = 1 + \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) + {\cos ^2}\gamma \\
 = 1 + \cos \gamma \left[ {\cos \gamma  - \cos \left( {\alpha  - \beta } \right)} \right]\\
 = 1 - \cos \gamma \left[ {\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha  - \beta } \right)} \right]\\
 = 1 - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma 
\end{array}\)

---

a) Chứng minh rằng nếu ∝ và β khác \(\frac{\pi }{2} + k\pi \) (k ∈ Z) thì:     

\(\left\{ \begin{array}{l}
\tan \alpha  + \tan \beta  = \frac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}\\
\tan \alpha  - \tan \beta  = \frac{{\sin \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}
\end{array} \right.\)

b) Chứng minh rằng với mọi ∝ mà cos k∝ ≠ 0 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) và sin ∝ ≠ 0 thì:

\(\frac{1}{{\cos \alpha \cos 2\alpha }} + \frac{1}{{\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + \frac{1}{{\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} = \frac{{\tan 8\alpha  - \tan \alpha }}{{\sin \alpha }}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\tan \alpha  + \tan \beta  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\sin \beta }}{{\cos \beta }}\\
 = \frac{{\sin \alpha \cos \beta  + \sin \beta \cos \alpha }}{{\cos \alpha \cos \beta }} = \frac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}
\end{array}\)

Tương tự, \(\tan \alpha  - \tan \beta  = \frac{{\sin \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{\cos \alpha \cos 2\alpha }} + \frac{1}{{\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + \frac{1}{{\cos 7\alpha \cos 8\alpha }}\\
 = \frac{{\tan \alpha  - \tan 2\alpha }}{{\sin \left( { - \alpha } \right)}} + \frac{{\tan 2\alpha  - \tan 3\alpha }}{{\sin \left( { - \alpha } \right)}} + ... + \frac{{\tan 7\alpha  - \tan 8\alpha }}{{\sin \left( { - \alpha } \right)}}\\
 = \frac{1}{{\sin \alpha }}\left( { - \tan \alpha  + \tan 2\alpha  - \tan 2\alpha  + \tan 3\alpha  + ... - \tan 7\alpha  + \tan 8\alpha } \right)\\
 = \frac{{\tan 8\alpha  - \tan \alpha }}{{\sin \alpha }}
\end{array}\)

---

Biết cosα +cosβ = a; sinα+sinβ = b (a,b là hằng số và a² + b² ≠ 0)

Hãy tính sin(α + β) theo a và b

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
a = 2\cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2}\\
b = 2\sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha  - \beta }}{2}
\end{array} \right\}\\
 \Rightarrow ab = 2\sin \left( {\alpha  + \beta } \right){\cos ^2}\frac{{\alpha  - \beta }}{2}
\end{array}\)

Mặt khác: \({a^2} + {b^2} = 4{\cos ^2}\frac{{\alpha  - \beta }}{2}\)

Do đó \(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

---

Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O, với vận tốc ban đầu là v(m/s) theo phương hợp với trục hoành (nằm ngang) Ox một góc α ,\(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) là parabol có phương trình :

\(y =  - \frac{g}{{2{v^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{x^2} + \left( {\tan \alpha } \right)x\)                                                    

Trong đó g là gia tốc trọng trường (g ≈ 9,8m/s²) (giả sử lực cản của không khí là không đáng kể).

Gọi tầm xa của quỹ đạo là khoảng cách từ O đến giao điểm khác O của quỹ đạo với Ox.

a) Tính tầm xa theo α (và v)

b) Khi v không đổi, α thay đổi trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), hỏi giá trị α nào thì tầm xa của quỹ đạo đạt được giá trị lớn nhất? Tính giá trị đó theo v. Khi v = 80m/s. Hãy tính giá trị lớn nhất đó (chính xác đến hàng đơn vị).

 

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi x là tầm xa của quỹ đạo, thì: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
 - \frac{{g{x^2}}}{{2{v^2}{{\cos }^2}\alpha }} + \left( {\tan \alpha } \right)x = 0
\end{array} \right.\)

Tức là \(x = \frac{{2{v^2}\sin \alpha \cos \alpha }}{g} = \frac{{{v^2}}}{g}\sin 2\alpha \)

Câu b:

x đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(\sin 2\alpha  = 1 \Rightarrow \alpha  = \frac{\pi }{4}\)

Khi đó: \(x = \frac{{{v^2}}}{g}\)

Với v = 80 m/s thì \(\frac{{{v^2}}}{g} \approx \frac{{{{80}^0}}}{{9,8}} \approx 635\left( m \right)\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 6 Luyện tập (trang 215, 216) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.