Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 6 Bài 2 Giá trị lượng giác của một cung

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu α âm thì ít nhất một trong các số cosα, sinα phải âm.

b) Nếu α dương thì \(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } \)

c) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các số thực sau trùng nhau:

\(\frac{\pi }{4}; - \frac{{7\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4}; - \frac{{17\pi }}{4}\)

d) Ba số sau bằng nhau: \({\cos ^2}{45^0};\sin \left( {\frac{\pi }{3}{\rm{cos}}\frac{\pi }{3}} \right); - \sin {210^0}\)

e) Hai số sau khác nhau: \(\sin \frac{{11\pi }}{6};\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} + 1505\pi } \right)\)

f) Các điểm của đường tròn lượng giác lần lượt xác định bởi các số đo: \(0;\frac{\pi }{3};\pi ; - \frac{{2\pi }}{3}; - \frac{\pi }{3}\) là các đỉnh liên tiếp của một lục giác đều.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Sai. Chẳng hạn \(\alpha  =  - \frac{{7\pi }}{4}\) thì cosα và sin α đều dương.

Câu b:

Sai. Chẳng hạn \(\alpha  = \frac{{5\pi }}{4}\) thì sinα < 0

Câu c:

Sai. Vì trên đường tròn lượng giác các điểm biểu diễn các số:

\(\frac{\pi }{4}; - \frac{{7\pi }}{4} =  - 2\pi  + \frac{\pi }{4}; - \frac{{17\pi }}{4} =  - 9.2\pi  + \frac{\pi }{4}\)

Là trùng nhau nhưng không trùng với điểm biểu diễn số \(\frac{{13\pi }}{4} = 3\pi  + \frac{\pi }{4}\) 

Câu d:

Đúng. Vì: 

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}{45^0} = \frac{1}{2}\\
\sin \left( {\frac{\pi }{3}{\rm{cos}}\frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{3}.\frac{1}{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\\
 - \sin {210^0} =  - \sin \left( {{{180}^0} + {{30}^0}} \right) =  - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}
\end{array}\)

Câu e:

Sai. Vì:

\(\begin{array}{l}
\sin \frac{{11\pi }}{6} = \sin \left( {2\pi  - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\\
\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} + 1505\pi } \right) = \sin \left( {753.2\pi  - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)
\end{array}\)

Câu f:

Vì chỉ cần dựng lục giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác với một đỉnh A và quan sát.

---

Tìm các điểm của đường tròn lượng giác xác định bởi số α trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \)

b) \(\sqrt {{{\sin }^2}\alpha }  = \sin \alpha \)

c) \(\tan \alpha  = \frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } }}{{\cos \alpha }}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  \Leftrightarrow \cos \alpha  = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha }  \Leftrightarrow \cos \alpha  \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \) M(x;y) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1,x \ge 0\)

Câu b:

Ta có \(\sqrt {{{\sin }^2}\alpha }  = \sin \alpha  \Leftrightarrow \sin \alpha  \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \) M(x;y) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1,y \ge 0\)

Câu c:

Ta có \(\tan \alpha  = \frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } }}{{\cos \alpha }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha \\
\cos \alpha  \ne 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \) M(x;y) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1,y \ge 0, y \ne 1\)

---

Xác định dấu của các số sau:

a) \(\sin {156^0};\cos \left( { - {{80}^0}} \right);\tan \left( { - \frac{{17\pi }}{8}} \right);\tan {556^0}\)

b) \(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right);\cos \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{8}} \right);\tan \left( {\alpha  - \frac{\pi }{2}} \right)\) \(\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vì 0⁰ < 156⁰ < 180⁰ nên sin 156⁰ > 0

Vì - 90⁰ < - 80⁰ < 90⁰ nên cos(- 80⁰) > 0

Ta có \(\tan \left( { - \frac{{17\pi }}{8}} \right) = \tan \left( { - 2\pi  - \frac{\pi }{8}} \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{8}} \right) < 0\) (vì \( - \frac{\pi }{2} <  - \frac{\pi }{8} < 0\))

\(\tan {556^0} = \tan \left( {{{360}^0} + {{196}^0}} \right) = \tan {196^0} > 0\) (vì \({180^0} < {156^0} < {270^0}\))

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{\pi }{4} < \alpha  + \frac{\pi }{4} < \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) > 0\\
0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} \Rightarrow  - \frac{{3\pi }}{8} < \alpha  - \frac{{3\pi }}{8} < \frac{\pi }{8} \Rightarrow \cos \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{8}} \right) > 0\\
0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} \Rightarrow  - \frac{\pi }{2} < \alpha  - \frac{\pi }{2} < 0 \Rightarrow \tan \left( {\alpha  - \frac{\pi }{2}} \right) < 0
\end{array}\)

---

Tính giá trị lượng giác của các góc sau:

a) \( - \frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi \)

b) \(k\pi \)

c) \(\frac{\pi }{2} + k\pi \)

d) \(\frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \( - \frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi  = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = \sin \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
{\rm{cos}}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = {\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{3} =  - \frac{1}{2}\\
\tan \left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = \tan \frac{{2\pi }}{3} =  - \sqrt 3 \\
\cot \left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = \cot \frac{{2\pi }}{3} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

Câu b:

Ta có \(\cos k\pi  = {\left( { - 1} \right)^k};\sin k\pi  = 0;\tan k\pi  = 0,\cot k\pi \) không xác định \(\left( {k \in Z} \right)\)

Câu c:

Ta có \({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = 0;\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k};\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = 0;\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\) không xác định \(\left( {k \in Z} \right)\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}.\frac{{\sqrt 2 }}{2};\sin \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\tan \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = 1
\end{array}\)

---

Tính giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\cos \alpha  = \frac{1}{4};\sin \alpha  < 0\)

b) \(\sin \alpha  =  - \frac{1}{3};\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)

c) \(\tan \alpha  = \frac{1}{2}; - \pi  < \alpha  < 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\sin \alpha  =  - \sqrt {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{1}{{16}}}  =  - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\left( {do\,\sin \alpha  < 0} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  - \sqrt {15} \\
\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} =  - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}
\end{array}\)

Câu b:

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

\(\begin{array}{l}
\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\\
\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2\sqrt 2 
\end{array}\)

Câu c:

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
 - \pi  < \alpha  < 0\\
\tan \alpha  = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \cos \alpha  < 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{5}\\
\sin \alpha  = \tan \alpha .\cot \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\\
\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2
\end{array}\)

---

Đơn giản biểu thức

a) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha } \)

b) \(\frac{{1 - \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{1}{{1 + \cos \alpha }}\)

c) \(\frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\cos ^2}\alpha \left( {\cos \alpha  \ne 0} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{{\sin }^4}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }  = \sqrt {{{\sin }^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)} \\
 = \sqrt {{{\sin }^2}\alpha }  = \left| {\sin \alpha } \right|
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\frac{{1 - \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{1}{{1 + \cos \alpha }} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{1 - {{\cos }^2}\alpha }} - \frac{1}{{1 + \cos \alpha }}\\
 = \frac{1}{{1 + \cos \alpha }} - \frac{1}{{1 + \cos \alpha }} = 0
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\cos ^2}\alpha \\
 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\sin ^2}\alpha  - {\cos ^2}\alpha \\
 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = {\tan ^2}\alpha 
\end{array}\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 6 Bài 2 Giá trị lượng giác của một cung với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.