Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 2 Bài 1 Đại cương về hàm số

Bài 1 trang 44 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 2 trang 44 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 3 trang 45 SGK Toán 10 nâng cao

---

Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng của nó:

a) \(y = x^2 + 2x - 2\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\);

b) \(y = - 2x^2 + 4x + 1\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; -1} \right)\) và \(\left( {  1; + \infty } \right)\);

c) \(y = \frac{2}{{x - 3}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; 3} \right)\) và \(\left( { 3; + \infty } \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có :

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(f(x_2) – f(x_1) = x_2^2 + 2x_2 – 2 – (x_1^2 + 2x_1 – 2)\)
 \(= x_2^2 – x_1^2 + 2(x_2 – x_1) = (x_2 – x_1)(x_1 + x_2 + 2)\)
\( \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2\)

Vì \(x_1<-1\) và \(x_2<-1\) nên \(x_1+x_2+2<0\) nên \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Vậy hàm số \(y=x^2+2x-2\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { - 1; + \infty } \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0\) (vì \(x_1>-1; x_2>-1\)

Câu b:

Ta có :

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { - \infty ;  1} \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(f(x_2) – f(x_1) = (-2x_2^2 + 4x_2 + 1) – (-2x_1^2 + 4x_1 + 1)\)

\(= -2(x_2^2 - x_1^2) + 4(x_2 - x_1) = 2(x_2 - x_1)(2 – x_1 – x_2)\)

\( \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2\left( {2 - {x_1} - {x_2}} \right)\)

Vì \(x_1 < 1\) và \(x_2 < 1\) nên \(2 - x_1 – x_2 > 0\)

Vậy hàm số \(y = -2x^2 + 4x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { 1; + \infty } \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2\left( {2 - {x_1} - {x_2}} \right) < 0\) (vì \(x_1>1\) và \(x_2>1\))

Vậy hàm số \(y=-2x^2+4x+1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Câu c:

Ta có :

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { - \infty ;  3} \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}
f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \frac{2}{{{x_2} - 3}} - \frac{2}{{{x_1} - 3}}\\
 = \frac{{2\left( {{x_1} - 3} \right) - 2\left( {{x_2} - 3} \right)}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}} = \frac{{2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}}
\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{ - 2}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}}\) (vì \(x_1<3; x_2<3\) nên \((x_1-3)(x_2-3)>0\))

\( \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Vậy hàm số \(y = \frac{2}{{x - 3}}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\)

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { 3; + \infty } \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{ - 2}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}} < 0\) (vì \(x_1 > 3; x_2 > 3\) nên \((x_1 – 3)(x_2 – 3) > 0\))
Vậy hàm số \(y = \frac{2}{{x - 3}}\) nghịch biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\)

---

Mỗi hàm số sau là hàm số chẵn hay hàm số lẻ?

a) y = x⁴ – 3x² + 1

b) y = - 2x³ + x

c) y = |x + 2| - |x – 2|

d) y = |2x + 1| + |2x – 1|

Hướng dẫn giải:

Câu a:

f(x) = x⁴ – 3x² + 1

Với mọi x ∈ R thì – x ∈ R

Và f(- x) = (-x)⁴ – 3(-x)² + 1 = x⁴ – 3x² + 1 = f(x)

⇒ y = x⁴ – 3x² + 1 là hàm số chẵn

Câu b:

f(x) = - 2x³ + x

Với mọi x ∈ R thì – x ∈ R

Và f(-x) = - 2(- x)³ + (-x) = - (- 2x³ + x) = - f(x)

⇒ y = - 2x³ + x là hàm số lẻ

Câu c:

f(x) = |x + 2| - |x – 2|

Với mọi x ∈ R thì – x ∈ R

Và f(-x) = |-x + 2| - |- x – 2| = |x – 2| - |x + 2| = - f(x)

⇒ y = |x + 2| - |x – 2| là hàm số lẻ

Câu d:

f(x) = |2x + 1| + |2x – 1|

Với mọi x ∈ R thì – x ∈ R

Và f(- x) = |- 2x + 1| + |- 2x – 1| = |2x – 1| + |2x + 1| = f(x)

⇒ y = |2x + 1| + |2x – 1| là hàm số chẵn

---