Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 1 Bài 5 Trục tọa độ và hệ trục tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi mệnh đề sau đúng hay sai ?

a) Hai vec tơ \(\overrightarrow a  = \left( {26;9} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {9;26} \right)\) bằng nhau.

b) Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

c) Hai vec tơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau.

d) Vec tơ \(\overrightarrow a\) cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow i\) nếu \(\overrightarrow a\) có hoành độ bằng 0.

e) Vec tơ \(\overrightarrow a\) có hoành độ bằng 0 thì nó cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow j\).

Hướng dẫn giải:

a) Sai                        

b) Đúng                    

c) Đúng                    

d) Sai                   

e) Đúng

---

 Tìm tọa độ của các vectơ sau trong mặt phẳng tọa độ

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a  =  - \overrightarrow i ;\,\,\overrightarrow b  = 5\overrightarrow j ;\,\,\overrightarrow c  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j ;\\
\overrightarrow d  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow j  - \overrightarrow i } \right);\,\,\overrightarrow e  = 0,15\overrightarrow i  + 1,3\overrightarrow j ;\,\,\overrightarrow f  = \pi \overrightarrow i  - \left( {\cos {{24}^0}} \right)\overrightarrow j 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow a  = \left( {x;y} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \)

Áp dụng, ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a  = \left( { - 1;0} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {0;5} \right);\,\,\overrightarrow c  = \left( {3; - 4} \right)\\
\overrightarrow d  = \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right);\,\,\overrightarrow e  = \left( {0,15;1,3} \right);\,\,\,\overrightarrow f  = \left( {\pi ; - \cos {{24}^0}} \right)
\end{array}\)

---

Cho \(\overrightarrow a  = \left( {2;1} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( {3;4} \right),\,\,\,\overrightarrow c  = \left( {7;2} \right)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c \).

b) Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow x\) sao cho \(\overrightarrow x  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)

c) Tìm các số k,l để \(\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + l\overrightarrow b \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c = \left( {4 - 9 + 7;2 - 12 + 2} \right) = \left( {2; - 8} \right)\)

Câu b:

\(\overrightarrow x  + \overrightarrow a  = \vec b - \overrightarrow c  \Leftrightarrow \overrightarrow x  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c  - \overrightarrow a  = \left( {3 - 7 - 2;4 - 2 - 1} \right) = \left( { - 6;1} \right)\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\vec c = k\vec a + l\vec b = \left( {2k + 3l;k + 4l} \right) = \left( {7;2} \right)\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2k + 3l = 7\\
k + 4l = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = 4,4\\
l =  - 0,6
\end{array} \right.
\end{array}\)

---

Cho \(\overrightarrow u  = \frac{1}{2}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j \).

Tìm các giá trị của kk để hai vec tơ \(\overrightarrow u, \overrightarrow v\) cùng phương.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

Để hai vec tơ \(\overrightarrow u, \overrightarrow v\) cùng phương thì có số l sao cho \((overrightarrow u  = l\,\overrightarrow v \)

\( \Leftrightarrow \left( {k; - 4} \right) = \left( {\frac{1}{2}; - 5l} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = \frac{1}{2}\\
 - 4 =  - 5l
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = \frac{2}{5}\\
l = \frac{4}{5}
\end{array} \right.\)

Vậy với \(k = \frac{2}{5}\) thì \(\overrightarrow u, \overrightarrow v\)  cùng phương.

---

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

a) Tọa độ của điểm A bằng tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow {OA} \), với O là gốc tọa độ.

b) Hoành độ của một điểm bằng 0 thì điểm đó nằm trên trục hoành.

c) Điểm A nằm trên trục tung thì A có hoành đô bằng 0.

d) P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ điểm P bằng trung bình cộng các hoành độ của hai điểm A và B

e) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi x_A+x_C = x_B+x_D và y_A+y_C = y_B+y_D.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đúng.          

Câu b:

Sai vì hoành độ của một điểm bằng 0 thì điểm đó nằm trên trục tung.

Câu c:

Đúng.

Câu d:

Sai vì P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ điểm P bằng trung bình cộng các  hoành độ của hai điểm A và B; tung độ điểm P bằng trung bình cộng các tung độ của hai điểm A và B.

Câu e:

Đúng vì tứ giác ABCD là hình bình hành

⇔ I vừa là trung điểm của AC, vừa là trung điểm của BD

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x_I} = {x_A} + {x_B} = {x_C} + {x_D}\\
2{y_I} = {y_A} + {y_B} = {y_C} + {y_D}
\end{array} \right.\)

---

Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(−3;4), B(1;1), C(9;−5).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD.

c) Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có

\(\left. \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( {1 + 3;1 - 4} \right) = \left( {4; - 3} \right)\\
\overrightarrow {AC}  = \left( {9 + 3; - 5 - 4} \right) = \left( {12; - 9} \right)
\end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AB} \)

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Câu b:

Gọi D(x_D;y_D). Do A là trung điểm của BD nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} = \frac{{{x_B} + {x_D}}}{2}\\
{y_A} = \frac{{{y_B} + {y_D}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 3 = \frac{{1 + {x_D}}}{2}\\
4 = \frac{{1 + {y_D}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} =  - 7\\
{y_D} = 7
\end{array} \right.\)

Vậy D(−7;7)

Câu c:

Gọi E(x_E;0) trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng.

Do đó có số k thỏa mãn \(\overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AB} \)

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} \left( {4; - 3} \right);\overrightarrow {AE}  = \left( {{x_E} + 3; - 4} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_E} + 3 = 4k\\
 - 4 =  - 3k
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = \frac{4}{3}\\
{x_E} = \frac{7}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {\frac{7}{3};0} \right)
\end{array}\)

---

Cho điểm M(x;y). Tìm tọa độ của các điểm

a) M₁ đối xứng với MM qua trục Ox.

b) M₂ đối xứng với MM qua trục Oy.

c) M₃ đối xứng với M qua gốc tọa độ O.

Hướng dẫn giải:

a) M₁(x;−y);                             

b) M₂(−x;y);                          

c) M₃(−x;−y).

---

Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(−4;1), B(2;4), C(2;−2).

a) Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD.

c)  Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right) = \frac{1}{3}\left( { - 4 + 2 + 2} \right) = 0\\
{y_G} = \frac{1}{3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + 4 - 2} \right) = 1
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow G\left( {0;1} \right)
\end{array}\)

Câu b:

Gọi D(x_D;y_D) sao cho C là trọng tâm tam giác ABD. Ta có

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_C} = \frac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_D}} \right)\\
{y_C} = \frac{1}{3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_D}} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 = \frac{1}{3}\left( { - 4 + 2 + {x_D}} \right)\\
 - 2 = \frac{1}{3}\left( {1 + 4 + {y_D}} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} = 8\\
{y_D} =  - 11
\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {8; - 11} \right)
\end{array}\)

Câu c:

Gọi E(x_E;y_E) sao cho ABCE là hình bình hành. Ta có

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {EC}  \Leftrightarrow \left( {6;3} \right) = \left( {2 - {x_E}; - 2 - {y_E}} \right)\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_E} =  - 4\\
{y_E} =  - 5
\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - 4; - 5} \right)
\end{array}\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 1 Bài 5 Trục tọa độ và hệ trục tọa độ với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.