Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Bài 5: Phép chia đa thức một biến

Trong quá trình biến đổi và tính toán những biểu thức đại số, nhiều khi ta phải thực hiện phép chia một đa thức (một biến) cho một đa thức (một biến) khác, chẳng hạn ta cần thực hiện phép chia sau:

\(({x^3} + 1):({x^2} - x + 1)\)

Làm thế nào để thực hiện được phép chia một đa thức cho một đa thức khác?

Thực hiện phép tính:

a) \({x^5}:{x^3}\);    

b) \((4{x^3}):{x^2}\);   

c) \((a{x^m}):(b{x^n})\)(a ≠ 0; b ≠ 0; m, n \(\in\) N, m ≥ n).

Tính:

a) \((3{x^6}):(0,5{x^4})\);

b) \(( - 12{x^{m + 2}}):(4{x^{n + 2}})\)(m, n \(\in\) N, m ≥ n).

Ở Hình 6, diện tích các hình chữ nhật (I), (II) lần lượt là \(A = ac,B = bc\). Biết \(MN = c\).

a) Tính NP.

b) So sánh: \((A + B):c\) và \(A:c + B:c\).

Cho đa thức \(P(x) = 4{x^2} + 3x\) và đơn thức \(Q(x) = 2x\).

a) Hãy chia từng đơn thức (của biến x) có trong đa thức P(x) cho đơn thức Q(x).

b) Hãy cộng các thương vừa tìm được.

Tính: \((\dfrac{1}{2}{x^4} - \dfrac{1}{4}{x^3} + x):( - \dfrac{1}{8}x)\).

Thực hiện phép chia:

a) (2x² + 5x + 2) : (2x + 1);

b) (3x³ - 5x² + 2) : (x² + 1).

Tính:

a) \(({x^3} + 1):({x^2} - x + 1)\);

b) \((8{x^3} - 6{x^2} + 5):({x^2} - x + 1)\).

Tính:

a) \((4{x^3}):( - 2{x^2})\);    

b) \(( - 7{x^2}):(6x)\);       

c) \(( - 14{x^4}):( - 8{x^3})\).

Tính:

a) \((8{x^3} + 2{x^2} - 6x):(4x)\);  

b) \((5{x^3} - 4x):( - 2x)\);      

c) \(( - 15{x^6} - 24{x^3}):( - 3{x^2})\).

Tính:

a) \(({x^2} - 2x + 1):(x - 1)\);   

b) \(({x^3} + 2{x^2} + x):({x^2} + x)\);

c) \(( - 16{x^4} + 1):( - 4{x^2} + 1)\);                         

d) \(( - 32{x^5} + 1):( - 2x + 1)\).

Tính:

a) (6x² - 2x + 1) : (3x - 1);

b) (27x³ + x² - x + 1) : (-2x + 1);

c) (8x³ + 2x² + x) : (2x³ + x + 1);

d) (3x⁴ + 8x³ - 2x² + x + 1) : (3x + 1).

Một công ty sau khi tăng giá 30 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là 2x (nghìn đồng) thì có doanh thu là \(6{x^2} + 170x + 1200\)(nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty đó đã bán được theo x.

Một hình hộp chữ nhật có thể tích là \({x^3} + 6{x^2} + 11x + 6\)\((c{m^3})\). Biết đáy là hình chữ nhật có các kích thước là \(x + 1\)(cm) và \(x + 2\)(cm). Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật đó theo x.

Tính:

a) \(\left( {\frac{3}{4}{x^3}} \right):\left( { - \frac{1}{2}{x^2}} \right)\)                                              

b) \((5{x^n}):(4{x^2})\) (\(n \in \mathbb{N},n \ge 2\))

c) \(({x^3} - 3{x^2} + 6x):\left( { - \frac{1}{3}x} \right)\)                          

d) \(\left( {x + \frac{1}{3}{x^2} + \frac{7}{2}{x^3}} \right):(5x)\)

a) Cho đa thức \(P(x) = \left( {6{x^5} - \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3}} \right):(2{x^3})\). Rút gọn rồi tính giá trị của P(x) tại x = -2

b) \(Q(x) = 3\left( {\frac{{2x}}{3} - 1} \right) + (15{x^2} - 10x):( - 5x) - (3x - 1)\). Rút gọn rồi tính giá trị của Q(x) tại x = \(\frac{1}{3}\)

Khi giải bài tập “Xét xem đa thức \(A(x) =  - 12{x^4} + 5{x^3} + 15{x^2}\) có chia hết cho đơn thức B(x) = 3x² hay không”, bạn Hồng nói “Đa thức A(x) không chia hết cho đơn thức B(x) vì 5 không chia hết cho 3”, còn bạn Hà nói “Đa thức A(x) chia hết cho đơn thức B(x) vì số mũ của biến ở mỗi đơn thức của A(x) đều lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong B(x)”. Theo em, bạn nào nói đúng?

Tính:

a) \((3{x^3} - 7{x^2} + 4x - 4):(x - 2)\)

b) \(({x^5} + x + 1):({x^3} - x)\)

Cho đa thức \(P(x) = 3{x^3} - 2{x^2} + 5\). Chia đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (Q(x) ≠ 0) được thương là đa thức S(x)= 3x – 2 và dư là đa thức R(x) = 3x + 3. Tìm đa thức Q(x).

a) Tìm số dư của phép chia đa thức 4x⁴ – 2x² +7 cho x + 3

b) Tìm đa thức bị chia, biết đa thức chia là x² – 2x + 3, thương là x² − 2, dư là 9x – 5

a) Tìm số a sao cho 10x² – 7x + a chia hết cho 2x – 3

b) Tìm số a sao cho x³ – 10x + a chia hết cho x − 2

Tìm \(n \in \mathbb{Z}\) để 2n² – n chia hết cho n + 1

Một mảnh đất có dạng hình thang vuông với đáy bé là 10 m, chiều cao là 2x + 5 (m). Người ta mở rộng mảnh đất đó để được mảnh đất có dạng hình chữ nhật như Hình 6. Biết diện tích của phần đất mở rộng (phần tô đậm) là 6x² + 13x – 5 (m²), tính diện tích của mảnh đất lúc ban đầu.