Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Hai đường thẳng song song

Mô tả vị trí giữa các cặp đường thẳng a và b, b và c, c và d có trong hình bên

a) Nếu các trường hợp có thể xảy ra đối với hai đường thẳng $a,b$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Cho tứ diện $ABCD$. Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ có cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào không?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) $AB$ và $CD$;

b) $SA$ và $SC$;

c) $SA$ và $BC$.

Hãy chỉ ra các ví dụ về hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau trong hình cầu sắt ở Hình 6.

a) Trong không gian, cho điểm $M$ ở ngoài đường thẳng $d$. Đặt $\left( P \right) = mp\left( {M,d} \right)$. Trong $\left( P \right)$, qua $M$ vẽ đường thẳng $d'$ song song với $d$, đặt $\left( Q \right) = mp\left( {d,d'} \right)$. Có thể khẳng định hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ trùng nhau không?

b) Cho ba mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$ cắt nhau theo ba giao tuyến $a,b,c$ phân biệt với $a = \left( P \right) \cap \left( R \right);b = \left( Q \right) \cap \left( R \right);c = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$ (Hình 8).

Nếu $a$ và $b$ có điểm chung $M$ thì điểm $M$ có thuộc $c$ không?

Cho hình chóp $S.ABCD$. Vẽ hình thang $A{\rm{D}}M{\rm{S}}$ có hai đáy là $A{\rm{D}}$ và $M{\rm{S}}$. Gọi $d$ là đường thẳng trong không gian đi qua ${\rm{S}}$ và song song với $A{\rm{D}}$. Chứng minh đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$.

Ta đã biết trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau (Hình 13a).

Trong không gian, cho ba đường thẳng không đồng phẳng, $a$ và $b$ cùng song song với $c$. Gọi $M$ là điểm thuộc $a$, $d$ là giao tuyến của $mp\left( {a,c} \right)$ và $mp\left( {M,b} \right)$ (Hình 13b). Do $b\parallel c$ nên ta có $d\parallel b$ và $d\parallel c$. Giải thích tại sao $d$ phải trùng với $a$. Từ đó, nêu kết luận về vị trí giữa $a$ và $b$.

Cho tứ diện $ABCD$ có $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $B{\rm{D}}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $I,J$ và cắt hai cạnh $AC$ và $A{\rm{D}}$ lần lượt tại $M$ và $N$.

a) Chứng minh $IJNM$ là một hình thang.

b) Tìm vị trí của điểm $M$ dễ $IJNM$ là hình bình hành.

Một chiếc lều (Hình 16a) được minh hoạ như Hình 16b.

a) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song.

b) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy.

Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Một đường thẳng $c$ cắt $a$ thì cũng cắt $b$.

b) Một đường thẳng $c$ chéo với $a$ thì cũng chéo với $b$.

Cho hình chóp $S.ABC$ và điểm thuộc miền trong tam giác $ABC$ (Hình 17). Qua $M$, vẽ đường thẳng $d$ song song với $SA$, cắt $\left( {SBC} \right)$ tại $N$. Trên hình vẽ, hãy chỉ rõ vị trí của điểm $N$ và xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {CMN} \right)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$.

b) Lấy một điểm $M$ trên đoạn $SA$ ($M$ khác $S$ và $A$), mặt phẳng $\left( {BCM} \right)$ cắt $SD$ tại $N$. Tứ giác $CBMN$ là hình gì?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $I$ là trung điểm của $SD$. Hai mặt phẳng $\left( {IAC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ cắt nhau theo giao tuyến $Cx$. Chứng minh rằng $Cx\parallel SB$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Gọi $I$ là trung điểm của $SO$. Mặt phẳng $\left( {ICD} \right)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$.

a) Hãy nói cách xác định hai điểm $M$ và $N$. Cho $AB = a$. Tính $MN$ theo $a$.

b) Trong mặt phẳng $\left( {CDMN} \right)$, gọi $K$ là giao điểm của $CN$ và $DM$. Chứng minh $SK\parallel BC\parallel AD$.

Chỉ ra các đường thẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các đường thẳng song song trong thực tế.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD tại P, Q.

a) Chứng minh MN song song với PQ.

b) Gọi E là giao điểm của AM và BP, F là giao điểm của CQ và DN. Chứng minh EF song song với MN và PQ.

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ và I; J lần lượt là trung điểm của BD, CD?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) (SAD) và (SBC);

b) (SAB) và (MDC), với M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng SD.

a) Tìm các giao tuyến: d₁ = (SAB) ∩ (SCD); d₂ = (SCD) ∩ (MAB).

b) Chứng minh d₁ // d₂.