Vận dụng trang 17 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý pitago để biểu diễn độ dài OC và OA qua OB

Bước 2: Lập phương trình theo giả thiết \(OC = 3OA;\)\(OC = \frac{5}{4}OB\)

Bước 3: Giải phương trình

Lời giải chi tiết

Gọi độ dài cạnh OB là x cm \(\left( {x > 0} \right)\)

Theo giả thiết ta có \(AB = BC = OB - 1 = x - 1\)

Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông OAB và OBC ta có:

\(OC = \sqrt {O{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \)

\(OA = \sqrt {O{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{x^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {2x - 1} \)

a) \(OC = 3OA \Rightarrow \sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = 3\sqrt {2x - 1} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{x^2} - 2x + 1 = 9\left( {2x - 1} \right)\\ \Rightarrow 2{x^2} - 20x + 10 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \)\(x = 5 - 2\sqrt 5 \) và \(x = 5 + 2\sqrt 5 \)

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = 3\sqrt {2x - 1} \) ta thấy cả hai đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi \(OB = 5 - 2\sqrt 5 \) hoặc \(OB = 5 + 2\sqrt 5 \)thì \(OC = 3OA\)

b) \(OC = \frac{5}{4}OB \Rightarrow \sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = \frac{5}{4}x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{x^2} - 2x + 1 = \frac{{25}}{{16}}{x^2}\\ \Rightarrow \frac{7}{{16}}{x^2} - 2x + 1 = 0\end{array}\)\(\)

\( \Rightarrow x = \frac{4}{7}\) hoặc \(x = 4\)                

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = \frac{5}{4}x\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi \(OB = \frac{4}{7}\) hoặc \(OB = 4\) (cm) thì  \(OC = \frac{5}{4}OB\)         

-- Mod Toán 10 HỌC247