Giải bài 5 trang 19 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí côsin \(a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos A} \)

b) Lập phương trình dựa vào kết quả của câu a) và giải phương trình

c) Lập phương liên quan và giải phương trình

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng đính lí côsin trong tam giác ANC ta có:

\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{N^2} + N{C^2} - 2AN.NC.\cos \widehat N}  = \sqrt {{x^2} + {{10}^2} - 2x.10.\cos 60^\circ } \\ = \sqrt {{x^2} - 10x + 100} \end{array}\)

Áp dụng đính lí côsin trong tam giác BNC ta có:

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {B{N^2} + N{C^2} - 2BN.NC.\cos \widehat N}  = \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{10}^2} - 2\left( {x + 3} \right).10.\cos 60^\circ } \\ = \sqrt {{x^2} - 4x + 79} \end{array}\)

b) Ta có: \(AC = \frac{8}{9}BC\) hay

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 10x + 100}  = \frac{8}{9}\sqrt {{x^2} - 4x + 79} \\ \Rightarrow {x^2} - 10x + 100 = \frac{{64}}{{81}}\left( {{x^2} - 4x + 79} \right)\\ \Rightarrow \frac{{17}}{{81}}{x^2} - \frac{{554}}{{81}}x + \frac{{3044}}{{81}} = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x \simeq 7\) hoặc \(x \simeq 25,6\)

Thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn

Vậy khi \(x \simeq 7\) hoặc \(x \simeq 25,6\) thì \(AC = \frac{8}{9}BC\)

c) Yêu cầu bài toán tương đương

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 4x + 79}  = 2x\\ \Rightarrow {x^2} - 4x + 79 = 4{x^2}\\ \Rightarrow 3{x^2} + 4x - 79 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 2 - \sqrt {241} }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}\)

Mà vì \(x \ge 0\) nên  \(x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}\)

Vậy khi \(x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}\) thì \(BC = 2AN\)

-- Mod Toán 10 HỌC247