Giải bài 11 trang 104 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Phương pháp giải

+ Phương trình tham số của đường thẳng là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\)

+ Phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

+ Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\). 

+ Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a,b > 0\). 

+ Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2p{\rm{x}}\) (với p > 0) 

Hướng dẫn giải

A(0;4) ; \({{F}_{1}}(-3;0)\) ; \({{F}_{2}}(3;0)\).

\(\overrightarrow{A{{F}_{1}}}=(-3;-4)\); \(\overrightarrow{A{{F}_{2}}}=(3;-4)\)

a. Đường thẳng \(A{{F}_{1}}\) qua A(0;4) và nhận \({{\overrightarrow{n}}_{A{{F}_{1}}}}=(4;-3)\) làm vecto pháp tuyến

\(\Rightarrow\) Phương trình tổng quát của \(A{{F}_{1}}\) là: 4(x-0)-3(y-4)=0

hay (\(A{{F}_{1}}\)) : 4x-3y+12=0

Đường thẳng \(A{{F}_{2}}\) qua A(0;4) và nhận \({{\overrightarrow{n}}_{A{{F}_{2}}}}=(4;3)\) làm vecto pháp tuyến

\(\Rightarrow\) Phương trình tổng quát của \(A{{F}_{2}}\) là: 4(x-0)+3(y-4)=0

hay (\(A{{F}_{1}}\)) : 4x+3y-12=0

b. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(A{{F}_{1}}{{F}_{2}}\).

Giả sử tâm đường tròn là I(a;b). Ta có IA = IF1 = IF2

\(\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{F}_{1}}^{2}=I{{F}_{2}}^{2}\)

\(\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{F}_{1}}^{2},I{{F}_{1}}^{2}=I{{F}_{2}}^{2}\) nên:

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} {{\left( 0-a \right)}^{2}}+{{\left( 4-b \right)}^{2}}={{\left( -3-a \right)}^{2}}+{{\left( 0-b \right)}^{2}} \\  {{\left( -3-a \right)}^{2}}+{{\left( 0-b \right)}^{2}}={{\left( 3-a \right)}^{2}}+{{\left( 0-b \right)}^{2}} \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  {{a}^{2}}+16-8b+{{b}^{2}}=9+6a+{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\  {{\left( -3-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( 3-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}} \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} 6a+8b=7 \\ a=0 \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} a=\frac{7}{8} \\ b=0 \\ \end{align} \right.\)

Đường tròn tâm \(I\left( \frac{7}{8};0 \right)\), bán kính \(R=IA=\sqrt{{{\left( 0-\frac{7}{8} \right)}^{2}}+{{\left( 2-0 \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{305}}{8}\)

Phương trình đường tròn là: \({{\left( x-\frac{7}{8} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{305}{64}\)

c. (E) có hai tiêu điểm là \({{F}_{1}}(-3;0)\); \({{F}_{2}}(3;0)\) sao cho (E) đi qua A.

Phương trình chính tắc của (E) có dạng:  

\(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)\)

Vì (E) đi qua A(0;4) \(\Rightarrow\) \(\frac{{{0}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{4}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)

hay \({{b}^{2}}=4\)

mà \({{c}^{2}}=3^{2} =9\)

\(\Rightarrow\) \({{a}^{2}}= {{b}^{2}} + {{c}^{2}} = 4 + 9 =13\)

Vậy (E): \(\frac{{{x}^{2}}}{13}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\)

-- Mod Toán 10 HỌC247