Toán 10 Cánh Diều Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by < c (*).

Mỗi cặp số (x₀; y₀) sao cho ax₀ + by₀ < c được gọi là một nghiệm của bất phương trình (*).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình (*) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Vi dụ: Ý Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y \ge  - 5\) ?

a) (2; -1);

b) (-2; 0);

c) (-1; -1).

Giải

a) Thay x = 2, y = - 1, ta có: 3.2 + 2.(- 1) \( \ge \) - 5 là mệnh đề đúng.

Vậy (2 ; - 1) là nghiệm của bất phương trình.

b) Thay x = - 2, y = 0, ta có: 3. (-2) + 2.0 \( \ge \) - 5 là mệnh đề sai.

Vậy (- 2; 0) không là nghiệm của bất phương trình.

c) Thay x = - 1, y = - 1, ta có: 3. (-1) + 2.(- 1) \( \ge \) - 5 là mệnh đề đúng.

Vậy (- 1 ; - 1) là nghiệm của bất phương trình.

* Mô tả miền nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn

Chú ý: Đối với bất phương trình dạng ax + by \( \le \) c hoặc ax + by \( \ge \) c thì miễn nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả đường thẳng d.

Ví dụ: Nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình 4 (không kể d) biểu diễn miễn nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hỏi toạ độ hai điểm M(- 1; 1), N(4; - 2) có là nghiệm của bất phương trình đó không?

Giải

+ Điểm M(- 1; 1) thuộc nửa mặt phẳng không bị gạch nên (-1; 1) là nghiệm của bất phương trình đó.

+ Điểm N(4 ; - 2) thuộc nửa mặt phẳng bị gạch nên (4 ; - 2) không là nghiệm của bất phương trình đó.

* Biểu diễn miền nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn

* Chú ý:

-  Nếu \(c \ne 0\) ta thường chọn \(M\) là gốc tọa độ.

-  Nếu \(c = 0\) ta thường chọn \(M\) có tọa độ \((1;0)\) hoặc \((0;1).\)

- Với BPT \(a{x_0} + b{y_0} + c \le 0\) hoặc \(a{x_0} + b{y_0} + c \ge 0\) thì miền nhiệm là nửa mặt phẳng kể cả đường thẳng d.

Ví dụ: Biểu diễn miễn nghiệm của mỗi bất phương trình sau: x + y > -1; x + y \( \ge \) 1.

Giải

+ Vẽ đường thẳng d: x + y = -1.

+ Lấy điểm O(0 ; 0). Ta có: 0 + 0 = 0 > -1

+ Vậy miễn nghiệm của bất phương trình x + y > -1 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình dưới đây chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d; miền nghiệm của bất phương trình x + y \( \ge \) -1 là nửa mặt phẳng không bị gạch chứa điểm O(0: 0) kể cả đường thẳng d.

Câu 1: Tìm bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bất phương trình sau và chỉ ra một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn đó:

a) \(5x + 3y < 20\)

b) \(3x - \frac{5}{y} > 2\)

Hướng dẫn giải

a) \(5x + 3y < 20\)

Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn \(x = 0;y = 0\)

Khi đó bất phương trình tương đương với 5.0+3.0

Vậy (0;0) là một nghiệm của bất phương trình trên.

b) \(3x - \frac{5}{y} > 2\)

Đây không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ẩn y ở mẫu.

Câu 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình sau: \(x - 2y < 4\)

Hướng dẫn giải

Ta vẽ đường thẳng d:\(x - 2y = 4 \Leftrightarrow y = \frac{x}{2} - 2\)

Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(x - 2y < 4\) ta được:

\(0 - 2.0 < 4\) (Luôn đúng)

Vậy O nằm trong miền nghiệm.

Ta có miền nghiệm:

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Hiểu được khái niệm BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn; tập nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.

- Biết xác định miền nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.

- Áp dụng được vào bài toán thực tế.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 2 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Bất phương trình 3x – 2(y – x + 1) > 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?

  • A. x – 2y – 2 > 0;
  • B. 5x – 2y – 2 > 0;
  • C. 5x – 2y – 1 > 0;
  • D. 4x – 2y – 2 > 0.

• Câu 2:

  Trong các cặp số sau đây, cặp nào  là nghiệm của bất phương trình: 2x + y < 1

  • A. (– 2; 1);
  • B. (3; – 7);
  • C. (0; 1);
  • D. (0; 0).

• Câu 3:

  Cặp số (1; – 1) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

  • A. x + y – 3 > 0;
  • B. – x – y < 0;
  • C. x + 3y + 1 < 0;
  • D. – x – 3y – 1 < 0.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 2 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 21 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 22 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 24 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 24 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 24 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 24 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 24 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 24 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 24 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 24 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 24 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 25 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 25 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 25 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 25 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 8 trang 25 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 9 trang 26 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!