Một khối gỗ có khối lượng m ban đầu nằm yên trên mặt phẳng nằm ngang. Một vật nhỏ cũng có khối lượng m trượt trên mặt phẳng nằm ngang với vận tốc \({{v}_{0}}=3\sqrt{gR}\) và trượt lên bề mặt có dạng cung tròn lên khối gỗ. Bỏ qua mọi ma sát.

a) Vận tốc của khối gỗ ngay sau khi vật rời khỏi khối gỗ

Gọi \({{\overrightarrow{v}}_{1}},{{\overrightarrow{v}}_{2}}\) là vận tốc của khối gỗ và của vật nhỏ ngay sau khi vật nhỏ rời khỏi khối gỗ; \(\overrightarrow{v}\) là vận tốc tương đối của vật nhỏ so với khối gỗ.

Ta có: \({{\overrightarrow{v}}_{2}}=\overrightarrow{v}+{{\overrightarrow{v}}_{1}}\)

Và \(\overrightarrow{v}\) có tiếp tuyến với cung tròn tại điểm B và hợp với phương ngang góc \(\alpha =60{}^\circ .\)

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ “khối gỗ và vật nhỏ” theo phương ngang, ta được:

\(m{{v}_{0}}=m{{v}_{1}}+m{{v}_{2x}}\)

\(\Leftrightarrow {{v}_{0}}={{v}_{1}}+\left( v\cos 60{}^\circ +{{v}_{1}} \right)\)

\(=2{{v}_{1}}+0,5v\)

\(\Rightarrow v=2{{v}_{0}}-4{{v}_{1}}\)                                            (1)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ “khối gỗ và vật nhỏ”, ta được:

\(\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}mv_{2}^{2}+mg\frac{R}{2}\)

\(\Leftrightarrow v_{0}^{2}=2v_{1}^{2}+\left( {{v}^{2}}+v_{1}^{2}-2v{{v}_{1}}\cos 120{}^\circ  \right)+gR\)     (2)

- Thay (1) vào (2), ta được:

\(v_{0}^{2}=2v_{1}^{2}+{{\left( 2{{v}_{0}}-4{{v}_{1}} \right)}^{2}}+\left( 2{{v}_{0}}-4{{v}_{1}} \right){{v}_{1}}+gR\)

\(\Leftrightarrow 14v_{1}^{2}-14{{v}_{0}}{{v}_{1}}+3v_{0}^{2}+gR=0\)

\(\Leftrightarrow v_{1}^{2}-3\sqrt{gR}{{v}_{1}}+2gR=0,\) (thay \({{v}_{0}}=3\sqrt{gR}\))

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}

  & {{v}_{1}}=\sqrt{gR} \\

 & {{v}_{1}}=2\sqrt{gR} \\

\end{align} \right.;\left\{ \begin{align}

  & v=2.3\sqrt{gR}-4\sqrt{gR}=2\sqrt{gR} \\

 & v=2.3\sqrt{gR}-4.2\sqrt{gR}=-2\sqrt{gR} \\

\end{align} \right.\)

- So với khối gỗ, vận tốc của vật nhỏ theo phương ngang \(v>0\) nên \(v=2\sqrt{gR}.\)

Vậy: Vận tốc của khối gỗ ngay sau khi vật nhỏ rời khỏi nó là \({{v}_{1}}=\sqrt{gR}.\)

b) Độ cao lớn nhất mà vật nhỏ đạt được sau đó và khoảng cách giữa hai vật khi vật nhỏ m chạm đất.

- Vận tốc của vật nhỏ ngay sau khi rời khỏi khối gỗ: \({{v}_{2}}=\sqrt{v_{2x}^{2}+v_{2y}^{2}}.\)

Với  \({{v}_{2y}}=v\sin 6-{}^\circ =2\sqrt{gR}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3gR}\)

Và \({{v}_{2x}}=v\cos 60{}^\circ =2\sqrt{gR}.\frac{1}{2}=\sqrt{gR}\)

\(\Rightarrow {{v}_{2}}=\sqrt{3gR+gR}=2\sqrt{gR}\)

- Độ cao lớn nhất mà vật nhỏ đạt được sau đó: \({{H}_{\max }}=\frac{R}{2}+\frac{v_{2y}^{2}}{2g}.\)

\(\Leftrightarrow {{H}_{\max }}=\frac{R}{2}+\frac{3gR}{2g}=2R=2.0,5=1m\)

- Phương trình chuyển động của vật nhỏ m theo hệ trục tọa độ Bxy:

\({{y}_{2}}=\left( {{v}_{2}}\sin 30{}^\circ  \right)t-\frac{1}{2}g{{t}^{2}}=\sqrt{gR}t-5{{t}^{2}}=\sqrt{10.0,5}t-5{{t}^{2}}=\sqrt{5}t-5{{t}^{2}}\)

- Khi vật chạm đất: \({{y}_{2}}=-\frac{R}{2}=-0,25m.\)

\(\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}-\sqrt{5}t-0,25=0\Rightarrow t=0,54s\)

- Độ dời của khối gỗ và vật nhỏ theo phương ngang:

\({{x}_{1}}={{v}_{1}}t=\sqrt{gR}t=\sqrt{10.0,5}.0,54=1,21m\)

\({{x}_{2}}=\left( {{v}_{2}}\cos 30{}^\circ  \right)t=2\sqrt{gR}.\frac{\sqrt{3}}{2}.0,54=2.\sqrt{10.0,5}.\frac{\sqrt{3}}{2}.0,54=2,09m\)

- Khoảng cách giữa hai vật khi vật nhỏ m chạm đất:

\(\Delta x={{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2,09-1,21=0,88m.\)

Vậy: Độ cao lớn nhất mà vật nhỏ đạt được sau đó là \({{H}_{\max }}=1m\)và khoảng cách giữa hai vật khi vật nhỏ m chạm đất là \(\Delta x=0,88m.\)