Tính PN và MI biết I là trung điểm NP và MP=3cm MN=4cm

a) Xét tam giác MNI và tam giác QPI, ta có:

\(\widehat{MIN}=\widehat{QIP}\) ( Hai góc đối đỉnh )

MI = IQ ( Theo giả thiết )

NI=IP ( Do I là trung điểm của NP )

=> \(\Delta MNI=\Delta QPI\) ( Cạnh-góc-cạnh )

=> \(\widehat{MNI}=\widehat{QPI}\) ( Hai góc tương ứng )

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

=> MN//QP

Mà MN \(\perp\) MP

=> QP\(\perp\) MP

Xét tam giác vuông là tam giác MNP và tam giác QPM, có:

MP là cạnh chung

QP = MN ( Do tam giác MNI = Tam giác QPI )

=> Tam giác MNP = Tam giác QPM ( Cạnh vuông- cạnh vuông )

=> NP=MQ

Mà MI = IQ ; NI = IP

=> NI = IQ ; MI = IP

Xét tam giác MNI và tam giác PQI, có:

MN = QP ( Chứng minh trên )

MI = IP ( Chứng minh trên )

NI = QI ( Chứng minh trên )

=> Tam giác MNI = Tam giác PQI ( Cạnh-cạnh-cạnh )

b) Xét tam giác PMN và tam giác NQP, có :

NP là cạnh chung

MN = QP ( Chứng minh trên )

\(\widehat{NPQ}=\widehat{PNM}\) ( Do MN//PQ )

=> Tam giác PMN = Tam giác NQP ( Cạnh-góc-cạnh )

\(=>\widehat{NMP}=\widehat{NQP}\) ( Hai góc tương ứng )

Mà \(\widehat{NMP}\) là góc vuông

=> \(\widehat{NQP}\) là góc vuông

=> NQ \(\perp\) QP

c) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác NMP. Ta có :

\(NP^2=NM^2+MP^2\)

=> \(NP^2=4^2+3^2\left(Cm\right)\)

=> \(NP^2=16+9\left(cm\right)\)

=> NP\(^2\) = 25 (cm)

\(=>NP=\sqrt{25}\left(cm\right)\)

=> NP = 5(cm)

Mà I là trung điểm của NP

=> NI = NP/2

=> NI=5/2 (Cm)

=> NI = 2,5 cm

Mà NI= MI ( Chứng minh trên )

=> MI = 2,5 cm

Vậy : NP=5cm ; MI = 2,5 cm