Tính độ dài AK biết AH cắt BC tại K và A=60 độ, AC=2cm

a, Xét tam giác BCE và tam giác CBD có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BDC}=\widehat{CEB}\left(=90^0\right)\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(gt\right)\\BClàcạnhchung\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta BCD=\Delta CBE\left(ch-gn\right)\\ \RightarrowĐpcm\)

b, Ta có :

\(AB=AC\left(gt\right)\Leftrightarrow BE+EA=CD+DA\\ MàDC=BE\left(haicạnhtươngứng-theocâua\right):\Rightarrow AD=AE\)

Xét tam giác AEH và tam giác ADH có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEH}=\widehat{ADH}\left(=90^0\right)\\AE=AD\left(cmt\right)\\AHlàcạnhchung\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta AEH=\Delta ADH\left(ch-cgv\right)\\ \Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{DAH}\left(2góctươngứng\right)\\ \Rightarrow AHlàtiaphângiáccủa\widehat{ABC}\)

c, Theo câu b và góc A bằng 60 độ ta có :

\(\widehat{EAH}=\widehat{CAH}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

Vì trong một tam giác cân, đường phân giác trùng với đường cao và đường trung tuyến nên :

\(AH\perp BC\Leftrightarrow AK\perp BC\)

Xét tam giác vuông AJKC, ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}AK^2+KC^2=AC^2\left(địnhlýPy-ta-go\right)\\\widehat{KAC}=30^0\end{matrix}\right.\)

Theo tính chất của một tam giác vuông, nếu có một góc nhọn trong tam giác vuông có số đo là 30 độ thì cạnh đối diện với góc ấy bằng một nửa cạnh huyền.

\(\Rightarrow KC=\dfrac{1}{2}AC\Rightarrow KC=\dfrac{1}{2}\cdot2=1\left(cm\right)\)

Ta có ;

\(AK^2+KC^2=AC^2\Leftrightarrow AK^2=AC^2-KC^2\\ \Leftrightarrow AK^2=2^2-1^2=3\\ \Leftrightarrow AK=\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Vậy AK = \(\sqrt{3}cm\).

P/s: Kiến thức này là mik học thêm, bạn có thể tự tìm cách chứng minh tính chất trong tam giác vuông mà mik áp dụng ở trên.

Chúc bạn học tốt!