Tính AD biết tam giác ABC cân ở A có AD là phân giác và AC=10cm, BC=12cm

Ta có hình vẽ:

c) Xét hai tam giác AMI và CDI có:

IA = IC (vì I là trung điểm của AC)

\(\widehat{AIM}=\widehat{CID}\) (đối đỉnh)

IM = ID (gt)

Vậy: \(\Delta AMI=\Delta CDI\left(c-g-c\right)\)

Suy ra: \(\widehat{AMI}=\widehat{CDI}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Do đó AM // BC (đpcm).

d) Tam giác ABC cân tại A

=> AD là đường phân giác đồng thời là đường cao của tam giác

Vì AM // BC (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{ADC}+\widehat{DAM}=180^o\) (hai góc trong cùng phía bằng nhau)

Mà \(\widehat{ADC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DAM}=90^o\)

Xét hai tam giác vuông AMD và DCA có:

AD: cạnh chung

AM = DC (\(\Delta AMI=\Delta CDI\))

Vậy: \(\Delta AMD=\Delta DCA\left(hcgv\right)\)

Suy ra: AC = DM (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có: \(\widehat{ADM}=\widehat{DAC}\) (\(\Delta AMI=\Delta CDI\))

Mà \(\widehat{DAC}=\widehat{ADN}\) (hai góc so le trong bằng nhau)

Suy ra: \(\widehat{ADM}=\widehat{ADN}\) hay DA là đường phân giác của \(\widehat{MDN}\) (1)

Vì N đối xứng với M qua A

=> DA là đường trung tuyến của MN (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\Delta MDN\) cân tại D (đpcm).