Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x+y+z=xyz

theo bài ra ta có:

\(x+y+z=xyz\\ \Rightarrow\dfrac{x+y+z}{xyz}=\dfrac{xyz}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{x+y+z}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{x}{xyz}+\dfrac{y}{xyz}+\dfrac{z}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}=1\)

giả sử \(1\le x\le y\le z\) ta có:

\(1=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}\le\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\\ \Rightarrow1\le\dfrac{3}{x^2}\)

\(\Rightarrow x^2\le3\)

=> \(x^2\inƯ_{\left(3\right)}=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

=> x = 1

thay x = 1 vào đầu bài ta có:

\(1+y+z=yz\\ \Rightarrow1+y+z-yz=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)+\left(y-yz\right)=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)-y\left(z-1\right)=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)-y\left(z-1\right)-2=-2\\ \Rightarrow\left(1+z-2\right)-y\left(z-1\right)=-2\\ \Rightarrow\left(z-1\right)-y\left(z-1\right)=-2\\ \Rightarrow\left(z-1\right)\left(1-y\right)=-2\)

=> \(\left(z-1\right);\left(1-y\right)\inƯ_{\left(-2\right)}=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

ta có bảng sau:

vì y và z là các số nguyên dương

=> các cặp (y;z) là (3;2), (2;3)

vậy các cặp (x;y;z) là (1;3;2), (1;2;3)

vậy các nghiệm guyên dương của phương trình trên là hoán vị của 1;2;3