Chứng tỏ đa thức x^4 + 2x^2 + 1 không có nghiệm

\(1\)

\(\text{a) Ta có nghiệm của đa thức thỏa mãn:}\\ x^2-2x=0\\ \Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(\text{Vậy ngiệm của đa thức là}\) \(x=0\) \(\text{hoặc}\) \(x=2\)

\(b\text{)}\text{Ta có nghiệm của đa thức thỏa mãn:}\\ x^3-3x=0\\ \Leftrightarrow x^2\left(x^2-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=0\\x^2-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\text{Vậy ngiệm của đa thức là}\) \(x=0\) \(\text{hoặc}\) \(x=\sqrt{3}\)

\(2\)

\(a\text{)}\) \(x^4+2x^2+1\)

\(\) \(\) \(Mà:\) \(x^4\ge0\\ 2x^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^4+2x^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^4+2x^2+1\ge1\)

\(\text{Vậy đa thức trên không có nghiệm}\) \(\left(ĐPCM\right)\)

\(b\text{)}\) \(x^2+2x+3\)

\(\text{ Ta có:}\) \(\\ x^2+2x+3=x^2+x+x+1+2\)

\(\\ =\left(x^2+x\right)+\left(x+1\right)+2\)

\(\\ =x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)+2\\ \)

\(\\ =\left(x+1\right)\left(x+1\right)+2\)

\(\\ =\left(x+1\right)^2+2\)

\(\text{Mà}\) \(\left(x+1\right)^2\ge0\\ \Rightarrow\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

\(\text{Vậy đa thức trên không có nghiệm}\) \(\left(ĐPCM\right)\)

\(c\text{)}\) \(x^2+6x+10\)

\(\text{Ta có:}\) \(x^2+6x+10=x^2+3x+3x+9+1\)

\(=\left(x^2+3x\right)+\left(3x+9\right)+1\)

\(=x\left(x+3\right)+3\left(x+3\right)+1\)

\(=\left(x+3\right)\left(x+3\right)+1\)

\(=\left(x+3\right)^2+1\)

\(\text{Mà}\) \(\left(x+3\right)^2\ge0\\ \left(x+3\right)^2+1\ge1\)

\(\text{Vậy đa thức trên không có nghiệm}\) \(\left(ĐPCM\right)\)

\(\)

\(\)