Chứng minh tam giác BIM=tam giác CIN biết AB=AC, AM=AN và I là giao của BN và CM

Hình vẽ:

Giải:

a) Xét tam giác ABN và tam giác ACM, ta có:

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{A}\) chung

\(AN=AM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABN=\Delta ACM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow BN=CM\) (Hai cạnh tương ứng)

b) Có:

\(\widehat{AMC}+\widehat{CMB}=180^0\) (Hai góc kề bù)

và \(\widehat{ANB}+\widehat{BNC}=180^0\)

Mà \(\widehat{AMC}=\widehat{ANB}\) (\(\Delta ABN=\Delta ACM\))

\(\widehat{CMB}=\widehat{BNC}\)

Lại có:

\(MB=AB-AM\) và \(NC=AC-AN\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\AM=AN\left(\Delta ABN=\Delta ACM\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow MB=NC\)

Xét tam giác BIM và tam giác CIN, có:

\(\widehat{CMB}=\widehat{BNC}\) (Chứng minh trên)

\(\widehat{ACM}=\widehat{ABN}\) (\(\Delta ABN=\Delta ACM\))

\(MB=MC\) (Chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta BIM=\Delta CIN\left(g.c.g\right)\)

c) Xét tam giác AIM và tam giác AIN, có:

\(AM=AN\) (gt)

AI chung

\(MI=NI\) (\(\Delta BIM=\Delta CIN\))

\(\Rightarrow\Delta AIM=\Delta AIN\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (Hai góc tương ứng)

=> AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)

d) Ta có: \(AB=AC (gt)\)

=> Tam giác ABC cân tại A

Mà AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)

Nên AI đồng thời là đường cao của tam giác ABC

\(\Leftrightarrow AI\perp BC\)

e) Có: \(AM=AN\left(gt\right)\)

=> Tam giác AMN cân tại A

Mà tam giác ABC cân tại A

Nên \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

=> MN//BC (Vì có hai góc đồng vị bằng nhau)