Chứng minh BD là tia phân giác của tam giác ADE biết góc A=90 độ và BC=2AB

a) BC = 2AB \(\Rightarrow\) AB = \(\dfrac{1}{2}\)BC

EB = EC = \(\dfrac{1}{2}\)BC ( E là trung điểm của BC )

\(\Rightarrow\) BA = BE

Xét Δ ABD và Δ EBD có:

AB = EB ( cmt )

\(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{EBD}\) ( BD là phân giác \(\widehat{ABC}\) )

BD chung

\(\Rightarrow\) Δ ABD = Δ EBD ( c.g.c)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADB}\) = \(\widehat{EDB}\) ( 2 góc tương ứng )

\(\Rightarrow\) DB là phân giác của \(\widehat{ADE}\)

b) \(\widehat{BED}\) = \(\widehat{BAD}\) ( 2 góc tương ứng )

mà \(\widehat{BAD}\) = 90\(^O\) \(\Rightarrow\) \(\widehat{BED}\) = 90\(^O\) , \(\widehat{DEC}\) = 90\(^O\)

Xét Δ BED và Δ CED có:

BE = CE ( CE là trung điểm của BC )

\(\widehat{BED}\) = \(\widehat{CED}\) = 90\(^O\)

ED chung

\(\Rightarrow\) Δ BED = Δ CED ( c.g.c)

\(\Rightarrow\) BD = DC ( 2 cạnh tương ứng )

c) Δ EBD = Δ ECD ( cmt )

\(\Rightarrow\) \(\widehat{EBD}\) = \(\widehat{ECD}\) ( 2 góc tương ứng )

mà \(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{CBD}\) ( BD là phân giác của \(\widehat{ABC}\) )

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}\) = 2\(\widehat{ACB}\)

\(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) = 90\(^O\) ( Δ ABC có \(\widehat{A}\) = 90\(^O\) )

\(\Rightarrow\) 2\(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{ACB}\) = 90\(^O\) \(\Rightarrow\) 3\(\widehat{ACB}\) = 90\(^O\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ACB}\) = 30\(^O\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}\) = 2. 30\(^O\) = 60\(^O\)