Chứng minh AO là tia phân giác góc MAN biết tam giác ABC có góc B=C

a) \(\Delta ABC\) có \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) \(\Rightarrow ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow\) AB = AC

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABN}=180^o\) (kề bù)

\(\widehat{ACB}+\widehat{ACM}=180^o\) (kề bù)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (gt)

\(\Rightarrow\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)

Xét hai tam giác ABN và ACM có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\left(cmt\right)\)

BN = CM (gt)

Vậy \(\Delta ABN=\Delta ACM\left(c-g-c\right)\)

b) Vì \(\Delta ABN=\Delta ACM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\) AN = AM

\(\Rightarrow\) \(\Delta ANM\) cân tại A

Xét hai tam giác vuông BNK và CMH có:

BN = CM (gt)

\(\widehat{BNK}=\widehat{CMH}\) (do \(\Delta ANM\) cân tại A)

Vậy \(\Delta BNK=\Delta CMH\left(ch-gn\right)\)

Suy ra: BK = CH (hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: \(\widehat{KBN}=\widehat{OBC}\) (đối đỉnh)

\(\widehat{MCH}=\widehat{OCB}\) (đối đỉnh)

Mà \(\widehat{KBN}=\widehat{MCH}\left(\Delta BNK=\Delta CMH\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

\(\Rightarrow\Delta OBC\) cân tại O

\(\Rightarrow\) OB = OC

Xét hai tam giác ABO và ACO có:

AB = AC (cmt)

OB = OC (cmt)

AO: cạnh chung

Vậy \(\Delta ABO=\Delta ACO\left(c-c-c\right)\)

Suy ra: \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\) (hai góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{NAO}=\widehat{NAB}+\widehat{BAO}\)

\(\widehat{MAO}=\widehat{MAC}+\widehat{CAO}\)

Mà \(\widehat{NAB}=\widehat{MAC}\) (\(\Delta ABN=\Delta ACM\))

\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{NAO}=\widehat{MAO}\)

Do đó AO là tia phân giác của \(\widehat{MAN}.\)