Chứng minh AO là phân giác của góc A biết O là giao điểm của BH và CK

a) Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}=180^o\) (kề bù)

\(\widehat{ACE}+\widehat{ACB}=180^o\) (kề bù)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét hai tam giác ABD và ACE có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (cmt)

BD = CE (gt)

Vậy: \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c-g-c\right)\)

Suy ra: AD = AE (hai cạnh tương ứng)

Do đó \(\Delta ADE\) cân tại A.

b) Xét hai tam giác vuông BDH và CEK có:

BD = CE (gt)

\(\widehat{BDH}=\widehat{CEK}\) (do \(\Delta ADE\) cân tại A)

Vậy: \(\Delta BDH=\Delta CEK\left(ch-gn\right)\)

Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: \(\widehat{DBH}=\widehat{OBC}\) (đối đỉnh)

\(\widehat{ECK}=\widehat{OCB}\) (đối đỉnh)

Mà \(\widehat{DBH}=\widehat{ECK}\) (\(\Delta BDH=\Delta CEK\))

\(\Rightarrow\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

\(\Rightarrow\Delta OBC\) cân tại O

\(\Rightarrow\) OB = OC

Xét hai tam giác ABO và ACO có:

AB = AC (gt)

OB = OC (cmt)

AO: cạnh chung

Vậy: \(\Delta ABO=\Delta ACO\left(c-c-c\right)\)

Suy ra: \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\) (hai góc tương ứng)

Do đó AO là tia phân giác của góc A (đpcm).