Chứng minh AK là tia phân giác góc BAC biết D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC

a) Ta có: AB = AC (ΔABC cân tại A)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}D\in AB\\E\in AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AD+DB\\AC=AE+EC\end{matrix}\right.\)

Và : \(\left\{{}\begin{matrix}AD=DB\left(\text{D là trung điểm của AB}\right)\\AE=EC\left(\text{E là trung điểm của AC}\right)\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(AD=BD=AE=EC\)

Xét \(\Delta ABE,\Delta ACD\) có :

\(AE=AD\left(cmt\right)\)

\(\widehat{A}:Chung\)

\(AB=AC\) (GT)

=> \(\Delta ABE=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\) (*)

b) Từ (*) suy ra : \(BE=CD\) (2 cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta DBC,\Delta ECB\) có :

\(BD=EC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\) (Tam giác ABC cân tại A)

\(BC:Chung\)

=> \(\Delta DBC=\Delta ECB\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta KBC\) có :

\(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\) (do \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\)-cmt)

=> \(\Delta KBC\) cân tại K (đpcm)

d) Xét \(\Delta ABK,\Delta ACK\) có :

AB = AC (gt)

\(AK:Chung\)

\(BK=CK\left(\Delta KBCcântạiK\right)\)

=> \(\Delta ABK=\Delta ACK\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\) (2 góc tương ứng)

Do đó , \(AK\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

=> đpcm