Chứng minh AI là phân giác góc A biết M, N là trung điểm của AC, AB

a) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}M\in AC\left(\text{M là trung điểm của AC}\right)\\N\in AB\left(\text{N là trung điểm của AB}\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AN=BN\\AM=CM\end{matrix}\right.\)

Lại có : AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)

Suy ra : \(AN=BN=AM=CM\left(=\dfrac{AB}{2}\right)\)

Xét \(\Delta NBC,\Delta MCB\) có :

\(BN=CM\left(cmt\right)\)

\(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(BC:Chung\)

=> \(\Delta NBC=\Delta MCB\left(c.g.c\right)\)

=> \(\text{BM = CN }\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ABM,\Delta ACN\) có :

\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{A}:chung\)

\(AM=AN\) (cmt)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) (2 góc tương ứng)

b) Từ \(\Delta NBC=\Delta MCB\left(cmt\right)\) ta có :

\(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) (2 góc tương ứng)

Hay : \(\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\)

=> \(\Delta IBC\) cân tại I

d) Xét \(\Delta AIB,\Delta AIC\) có :

\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

AI:Chung

\(IB=IC\) ( ​\(\Delta IBC\) cân tại I)

=> ​\(\Delta AIB=\Delta AIC\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (2 góc tương ứng)

=> AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Hay : AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)

d) Ta có : \(AI\cap BC=\left\{M\right\}\)

Xét \(\Delta AMB,\Delta AMC\) có :

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (AI là tia phân giác của góc A)

AM : Chung

=> ​\(\Delta AMB=\Delta AMC\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 góc tương ứng)

Mà : \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^{^O}\left(Kềbù\right)\)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^{^O}}{2}=90^{^O}\)

=> \(AM\perp BC\)

Hay : \(AI\perp BC\) (do \(M\in AI\) - cách vẽ)

=> đpcm

​\(\Delta ABC\)