Chứng minh AI là phân giác của góc A biết các tia phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau ở I

*Hình hơi xấu, thông cảm !!!

Bài giải

Từ I kẻ các đường vuông góc với các cạnh của \(\Delta ABC\)

Ta có: ID \(\perp AB,IE\perp AC,IF\perp BC\)

+) Vì BI là tia phân giác của góc ABC

=> ABI = IBC

Xét \(\Delta DIB\)và \(\Delta FIB\), có:

ABI = IBC (CMT)

BI là cạnh chung

IDB = IFB (=90⁰)

=> \(\Delta DIB=\Delta FIB\) ( cạnh huyền - góc nhọn)

=) DI = IF (hai cạnh tương ứng ) (1)

+) Vì CI là tia phân giác của góc ACB

=> Góc ACI = góc ICB

Xét \(\Delta EIC\)và \(\Delta FIC\), có

Góc IEC = góc CIF (=90⁰)

IC là cạnh chung

Góc ACI = góc ICB

=> \(\Delta EIC=\Delta FIC\)(cạn huyền - góc nhọn)

=> IF = IE ( hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2), suy ra, DI = IE

* Xét \(\Delta AID\)và \(\Delta AIE\), có

AI là cạnh chung

Góc ADI = góc AEI

ID = IE (CMT)

=> \(\Delta AID\)= \(\Delta AIE\)(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

-> Góc DAI = góc IAE (hai góc tương ứng)

-> AI là tia phân giác của góc A

=) Đpcm