YOMEDIA
NONE

Chứng minh (AI.BI.CI)/(AM.BN.CP) < = 8/27 biết AM,BN.CP là các phân giác trong

Cho tam giác ABC,các đường phân giác trong của tam giác là AM,BN,CP đồng qui tại I. CMR: \(\dfrac{AI.BI.CI}{AM.BN.CP}\)\(\leq\) \(\dfrac{8}{27}\).

Mọi người giúp mình bài này với. Các CTV giúp mình với @Ace Legona,Phương An, Akai Haruma, @Neet

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (2)

  • Vì BI là đường phân giác trong của tam giác ABM nên ta có :

    \(\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AI}{IM}\Rightarrow\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AB}{AB+BM}\)(1)

    Vì CI là đường phân giác trong của tam giác ACM nên ta có :

    \(\dfrac{AC}{CM}=\dfrac{AI}{IM}\Rightarrow\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AC}{AC+CM}\)(2)

    Từ (1) và (2) , ta suy ra :

    \(\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AB}{AB+BM}=\dfrac{AC}{AC+CM}=\dfrac{AB+AC}{AB+BM+AC+CM}=\dfrac{AB+AC}{AB+BC+CA}\)

    Chứng minh tương tự ta có :\(\dfrac{BI}{BN}=\dfrac{AB+BC}{AB+BC+CA}\)

    \(\dfrac{CI}{CP}=\dfrac{BC+CA}{AB+BC+CA}\)

    Do đó :\(\dfrac{AI.BI.CI}{AM.BN.CP}=\dfrac{\left(AB+AC\right)\left(AB+BC\right)\left(CA+BC\right)}{\left(AB+BC+CA\right)^3}\)

    Đặt AB=a(a>o);BC=b(b>0);CA=c(c>0)

    Khi đó :\(\dfrac{AI.BI.CI}{AM.BN.CP}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\le\dfrac{\dfrac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^3}{27}}{\left(a+b+c\right)^3}=\dfrac{\dfrac{8}{27}\left(a+b+c\right)^3}{\left(a+b+c\right)^3}=\dfrac{8}{27}\)(AM-GM )

    Dấu "=" xảy ra khi :a=b=c

    \(\Leftrightarrow AB=BC=CA\)

    \(\Leftrightarrow\Delta ABC\) đều

      bởi Nguyễn Duyên 06/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF