Chứng minh (AI.BI.CI)/(AM.BN.CP) < = 8/27 biết AM,BN.CP là các phân giác trong
Cho tam giác ABC,các đường phân giác trong của tam giác là AM,BN,CP đồng qui tại I. CMR: \(\dfrac{AI.BI.CI}{AM.BN.CP}\)\(\leq\) \(\dfrac{8}{27}\).
Mọi người giúp mình bài này với. Các CTV giúp mình với @Ace Legona,Phương An, Akai Haruma, @Neet
Trả lời (2)
-
Vì BI là đường phân giác trong của tam giác ABM nên ta có :
\(\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AI}{IM}\Rightarrow\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AB}{AB+BM}\)(1)
Vì CI là đường phân giác trong của tam giác ACM nên ta có :
\(\dfrac{AC}{CM}=\dfrac{AI}{IM}\Rightarrow\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AC}{AC+CM}\)(2)
Từ (1) và (2) , ta suy ra :
\(\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AB}{AB+BM}=\dfrac{AC}{AC+CM}=\dfrac{AB+AC}{AB+BM+AC+CM}=\dfrac{AB+AC}{AB+BC+CA}\)
Chứng minh tương tự ta có :\(\dfrac{BI}{BN}=\dfrac{AB+BC}{AB+BC+CA}\)
\(\dfrac{CI}{CP}=\dfrac{BC+CA}{AB+BC+CA}\)
Do đó :\(\dfrac{AI.BI.CI}{AM.BN.CP}=\dfrac{\left(AB+AC\right)\left(AB+BC\right)\left(CA+BC\right)}{\left(AB+BC+CA\right)^3}\)
Đặt AB=a(a>o);BC=b(b>0);CA=c(c>0)
Khi đó :\(\dfrac{AI.BI.CI}{AM.BN.CP}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\le\dfrac{\dfrac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^3}{27}}{\left(a+b+c\right)^3}=\dfrac{\dfrac{8}{27}\left(a+b+c\right)^3}{\left(a+b+c\right)^3}=\dfrac{8}{27}\)(AM-GM )
Dấu "=" xảy ra khi :a=b=c
\(\Leftrightarrow AB=BC=CA\)
\(\Leftrightarrow\Delta ABC\) đều
bởi Nguyễn Duyên 06/11/2018Like (0) Báo cáo sai phạm
Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!
Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản
Các câu hỏi mới
-
Bài 2: Số học sinh tiên tiến của ba lớp 7A; 7B; 7C tương ứng tỉ lệ với 5; 4; 3. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tiên tiến, biết rằng lớp 7A có số học sinh tiên tiến nhiều hơn lớp 7B là 3 học sinh
19/11/2022 | 0 Trả lời
-
Hãy cho biết độ dài các cạnh còn lại.
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
Cho biết BC = 4 cm, tính các cạnh còn lại.
22/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
22/11/2022 | 1 Trả lời
-
22/11/2022 | 1 Trả lời
-
22/11/2022 | 1 Trả lời
-
22/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
22/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
22/11/2022 | 1 Trả lời
-
22/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
22/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
22/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời