Chứng minh AE=(AB+AC)/2 biết tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AD

Bạn tự vẽ hình nha ^^

Giải:

a) Xét hai tam giác vuông \(AEH\) và \(ACH\) có:

\(AH\) chung

\(\widehat{A}_1=\widehat{A}_2\) ( p/g \(AD\))

Do đó: \(\Delta AEH=\Delta ACH\left(cgv-gnk\right)\)

\(\Rightarrow AE=AC\) ( cặp cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow\Delta AFE\) cân.

b) Vì \(BK\)song song với \(EF\) mà \(AH\perp BK\)

\(\Rightarrow AH\perp EF\)

Xét hai tam giác vuông \(ABN\) và \(AKN\) có:

\(AN \) chung

\(\widehat{A}_1=\widehat{A}_2\) ( p.g \(AD\) )

Do đó: \(\Delta ABN=\Delta AKN\left(cgv-gnk\right)\)

\(\Rightarrow AB=AK\) ( cặp cạnh tương ứng )

Mà \(AB+BE=AE;AK+KF=AF\)

Lại có: \(AE=AF\) ( Vì \(\Delta AEH=\Delta AFH\) )

\(\Rightarrow BE=KF\)

c) Vẽ \(BN\) song song cắt \(EF\) tại \(N\)

\(\Delta MFC=\Delta MNB\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow FC=NB\) \((1)\)

Ta có:

\(\widehat{AFN}=\widehat{BNE}\) ( đồng vị )

\(\widehat{BEN}=\widehat{AFN}\) ( T/g AEF cân )

\(\Rightarrow\widehat{BNE}=\widehat{BEN}\)

\(\Rightarrow\Delta BEN\) cân tại \(B\)

\(\Rightarrow BE=BN\)

Ta có:

\(BE=KF\) ( câu \(b\) )

Nên \(BN=KF\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\(FK=FC\)

\(AK+AC=\left(AF-KF\right)+\left(AF+FC\right)\)

\(=2.AF\)

\(\Rightarrow AB+AC=2.AF\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB+AC}{2}=AF\)

\(=AE\)

\(\)\(\Rightarrow\dfrac{AB+AC}{2}=AE\) ( đpcm)