Chứng minh AD là phân giác của ∠HAC biết ABC vuông tại A có đường cao AH

a) ΔBAD có : BA = BD

\(\Rightarrow\) ΔBAD cân tại B

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{BDA}\)

b) ΔABC có : \(\widehat{A}\) = 90\(^O\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAD}\) + \(\widehat{DAC}\) = 90\(^O\)

ΔHAD có : \(\widehat{H}\) = 90\(^O\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{HAD}\) + \(\widehat{HDA}\) = 90\(^O\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAD}\) + \(\widehat{DAC}\) = \(\widehat{HAD}\) + \(\widehat{HDA}\) ( = 90\(^O\) )

mà \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{HDA}\) ( CMT ) \(\Rightarrow\) \(\widehat{DAC}\) = \(\widehat{HAD}\)

\(\Rightarrow\) AD là phân giác của \(\widehat{HAC}\)

c) Xét ΔAHD và ΔAKD có :

\(\widehat{AHD}\) = \(\widehat{AKD}\) = 90\(^O\)

AD chung

\(\widehat{HAD}\) = \(\widehat{KAD}\) ( AD là phân giác của \(\widehat{HAC}\) )

\(\Rightarrow\) Δvuông AHD = Δvuông AKD ( cạnh huyền - góc nhọn )

\(\Rightarrow\) AH = AK ( hai cạnh tương ứng )

d) AB + AC = AB + AK + KC

BC + 2AH = BD + DC + 2AH

mà AB = BD (GT)

AK = AH (CMT) \(\Rightarrow\) AK < 2AH

KC < DC ( quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc )

\(\Rightarrow\) AB + AC < BC + 2AH