Chứng minh 1 số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

1.

Giải:

Gọi số chính phương đã cho là \(a^2\) (a là số tự nhiên)

Với số tự nhiên \(a\) bất kì ta có: \(a\) chia hết cho \(3\), chia \(3\) dư \(1\) hoặc chia \(3\)

dư \(2\).

Nếu \(a\) chia hết cho \(3\)

\(\Rightarrow a=3k\) (k là số tự nhiên)

\(\Rightarrow a^2=\left(3k\right)^2=9k^2\) chia hết cho \(3\) hay chia \(3\) dư \(0\) .

Nếu \(a\) chia \(3\) dư \(1\)

\(\Rightarrow a = 3k +1 \)

\(\Rightarrow a^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1\) ; số này chia \(3\) dư \(1\)

Nếu \(a\) chia \(3\) dư \(2\)

\(\Rightarrow a = 3k+2 \)

\(\Rightarrow a^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4\); số này chia \(3\) dư \(1\).

Vậy số chính phương chia cho \(3\) dư \(0\) hoặc \(1\)

\(a^2\)lẻ \(\Leftrightarrow\) \(a\) lẻ.

Đặt \(a= 2k+3 \)(k là số tự nhiên)

\(\Rightarrow a^2 = (2k+ 3)^2 = 4k^2 + 12k+ 9 = 4k(k+3k) + 8 + 1 \)

Nếu \(k\) lẻ \(\Rightarrow k + 3k\) chẵn hay \(k+3k\) chia hết cho \(2\)

\(\Rightarrow4k.(k+3k)⋮8\)

\(\Rightarrow a^2\) chia \(8\) dư \(1\)

Nếu \(k\) chẵn hay \(k\) chia hết cho \(2\)

\(\Rightarrow4k.(k+3)\) chia hết cho \(8\)

\(\Rightarrow a^2\) chia \(8\) dư \(1\).