YOMEDIA

Chứng minh n^5-n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n

bởi Ha Ku 19/01/2019

chứng minh n^5 - n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.

ADSENSE

Câu trả lời (3)

  • A=n^5-n
    =n(n^4-1)
    =n(n-1)(n+1)(n^2+1)
    n(n-1)(n+1) chia hết cho 6
    nếu n=5k => A chia hết cho 5.6=30
    nếu n=5k+1 => -1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 30
    Nếu n=5k+2 => ^2+1=25k^2+20k+5 chia hết cho 5
    => A chia hết cho 10
    nếu n=5k+3 =>^2+1=25k^2+30k+10 chia hết cho 5
    =>A chia hết cho 30
    Nếu n=5k+4 =>+1=5k+5 chia hết cho 5
    =>A chia hết cho 30
    Vậy với n nguyên dương thì n^5-n chia hết cho 30
     
     
    bởi Lê Thị Hồng Nhung 19/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
  • Ta có: n^5 - n = n (n^4 -1 ) 
    =n (n^2-1)(n^2+1) 
    =n(n-1)(n+1)(n^2 - 4 +5) 
    =n(n-1)(n+1)(n^2-4) + n(n-1)(n+1)5 
    = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 
    Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30 
    và n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30 
    Nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30 
    hay n^5-n chia hết cho 30

    bởi Lê Trần Khả Hân 19/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
  • Ta biến đổi: 
    n^5 - n = n.(n^4 - 1) = n.(n^2 - 1).(n^2 + 1) (*) 
    Ở đây áp dụng hằng đẳng thức a^2 - 1 = (a-1).(a+1). 
    Tiếp tục: 
    (*) = n.(n-1).(n+1).(n^2+1) 

    Ta nhận thấy trong 3 thừa số n, n-1, n+1 thì có 1 số chia hết cho 3 vì đây là 3 số tự nhiên liên tiếp. 
    Trong 3 số đó cũng phải có một số chẵn nên tích của chúng chia hết cho 2. 
    Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên tích 3 số đó sẽ chia hết cho 6. 
    Bây giờ ta chứng minh (*) chia hết cho 5 như sau: 

    Nếu n chia hết cho 5 thì dĩ nhiên (*) chia hết cho 5. 
    Nếu n chia cho 5 dư 1 hoặc dư 4 thì dĩ nhiên n-1 hoặc n+4 tương ứng sẽ chia hết cho 5. 
    Nếu n chia cho 5 dư 2 hoặc 3 thì n có dạng : 
    n= 5k+2 hoặc 5k + 3 
    Khi đó n^2 +1 : 
    Hoặc bằng: (5k+2)^2 +1 = 25k^2 + 20k +4 + 1= 5(5k^2 + 4k +1) , dĩ nhiên nó chia hết cho 5. 
    Hoặc bằng: (5k+2)^2 +1 = 25k^2 + 30k +9 + 1= 5(5k^2 + 6k +2) , dĩ nhiên nó cũng chia hết cho 5. 
    Ở đây ta áp dụng hằng đẳng thức : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 

    Vậy với mọi trường hợp khi n chia cho 5 có số dư là bao nhiêu, thì (*) cũng chia hết cho 5. 

    (*) chia hết cho 5 và cho 6, mà 5 và 6 nguyên tố cùng nhau nên (*) chia hết cho 30.

    bởi Lê Thanh Ngọc 19/01/2019
    Like (3) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Gửi câu trả lời Hủy

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

AMBIENT
?>