Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cho sau: \(y = \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) - 1\)

Ta có 

\(\eqalign{
& y = \left( {\sin x - 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) - 1 \cr&= 2\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) - 3\sin x\cos x - 1 \cr 
& = - 1 - {3 \over 2}\sin 2x - 2\cos 2x \cr} \)

\( =  - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{5}{2}\left( {\frac{3}{5}\sin 2x + \frac{4}{5}\cos 2x} \right)\\
= \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)

với \(\alpha \) thỏa mãn \({\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{3}{5}\\
\sin \alpha = \frac{4}{5}
\end{array} \right.}\)

Mà

\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {2x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - 1 + \frac{5}{2} \ge - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right) \ge - 1 - \frac{5}{2}\\
\Rightarrow \frac{3}{2} \ge y \ge - \frac{7}{2}
\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({3 \over 2}\) và \( - {7 \over 2}\)