Chứng minh định lý 3 bài cấp số cộng Đại sô 11 nâng cao

Nghe lời như vầy có phải dễ thương hơn không :3

Gọi công sai của cấp số cộng đó là d và số đầu tiên là u₁ thì ta có:

\(\left\{\begin{matrix}u_2=u_1+d\\u_3=u_1+2d\\...\\u_n=u_1+\left(n-1\right)d\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(S_n=u_1+u_2+u_3...+u_n\)

\(=u_1+u_1+d+u_1+2d+...+u_1+\left(n-1\right)d\)

\(=n.u_1+d\left(1+2+...+\left(n-1\right)\right)\)

\(=n.u_1+\frac{\left(n-1\right).n.d}{2}\)

\(=\frac{n}{2}\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)\)

\(=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}\)

\(\left\{\begin{matrix}S=U_1+U_2+U_3+...+U_{\left(n-2\right)}+U_{\left(n-1\right)}+U_n\left(a\right)\\S=U_{\left(n\right)}+U_{\left(n-1\right)}+U_{\left(n-2\right)}+...+U_3+U_3+U_1\left(b\right)\end{matrix}\right.\)(1)

Lấy (a) công (b) theo thứ tự ta có

\(S+S=\left(U_1+U_n\right)+\left(U_2+U_{\left(n-1\right)}\right)+...+\left(U_{\left(n-1\right)}+U_2\right)+\left(U_n+U_1\right)\)(2)

Do cấp công là cấp số biến đổi đều do vậy tất cả các số hạng (...) của (2) đều bằng nhau nghĩa là:

\(\left(U_1+U_n\right)=\left(U_2+U_{\left(n-1\right)}\right)=\left(U_{\left(n-1\right)}+U_2\right)=\left(U_n+U_1\right)\)

Số các cặp (....) đúng bằng số số hạng của dẫy =n

Vậy ta có: (2) \(\Leftrightarrow2S=\left(U_1+U_n\right)n=\left(U_2+U_{n-1}\right)n=...\Rightarrow S=\frac{\left(U_1+U_n\right)n}{2}\Rightarrow dpcm\)

p/s: cái này mình nội suy từ kiến thức lớp 6.