Xác định \(m\) để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - m \le 0\\mx + 2x - 1 \le 0\end{array} \right.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - m \le 0\\mx + 2x - 1 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{{m - 1}}{2}{\rm{      (1)}}\\\left( {m + 2} \right)x \le 1{\rm{  (2)}}\end{array} \right.\)

Xét bất phương trình (2) . có ba trương hợp

+) \(m = -2\): (2) trở thành \(0x \le 1\) .Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) . Suy ra hệ có nghiệm là \(x \le \dfrac{-3}{2}\). Suy ra hệ có vô số nghiệm.

+) \(m > -2\): (2) có nghiệm \(x \le \dfrac{1}{{m + 2}}\) . Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{{m - 1}}{2}\\x \le \dfrac{1}{{m + 2}}\end{array} \right.\). Suy ra hệ có vô số nghiệm.

+) \(m < -2\): (2) có nghiệm \(x \ge \dfrac{1}{{m + 2}}\). Suy ra hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(\begin{array}{l}\dfrac{{m - 1}}{2} = \dfrac{1}{{m + 2}} \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 2\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {17} }}{2}\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(m < -2\) chọn \(m = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{2}\).