Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(5; 5), phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là x + y - 8 = 0

Gọi H₁ đối xứng với H qua BC \(\Rightarrow pt \;HH_{1}:x-y=0\Rightarrow \left \{ I \right \}=HH_{1}\cap BC\)

⇒ I(4; 4) ⇒ H₁ (3; 3). Ta chứng minh được điểm H₁ thuộc (ABC)

\((ABC):x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0,(a^{2}+b^{2}-c>0)\)

Do \(\left\{\begin{matrix} M\in (ABC)\\N \in (ABC) \\H_{1}\in (ABC) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 7^{2}+3^{2}-14a-6b+c=0\\4^{2}+2^{2}-8a-4b+c=0 \\3^{2}+3^{2}-6a-6b+c=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\b=4 \\c=36 \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (ABC):x^{2}+y^{2}-10x-8y+36=0\)

\(\left \{ A \right \}=HH_{1}\cap (ABC)\Rightarrow A(6;6), do\; A\neq H_{1}.\)

\(\left \{ B,C \right \}=BC\cap (ABC)\Rightarrow\) tọa độ B, C là nghiệm hpt \(\left\{\begin{matrix} x+y-8=0\\x^{2}+y^{2}-10x-8y+36=0 \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=3\\y=5 \end{matrix}\right.\\ \;\left\{\begin{matrix} x=6\\y=2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\Rightarrow BC=3\sqrt{2},d(A,BC)=\frac{\left | 6+6-8 \right |}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)

Suy ra diện tích \(\triangle ABC\) là \(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}.d(A,BC).BC=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.3\sqrt{2}=6\) (đvdt)