Trên một đường tròn định hướng cho ba điểm \(A, M, N\) sao cho sđ cung \(AM = \dfrac{\pi }{3}\); sđ cung \(AN = \dfrac{{3\pi }}{4}\). Gọi \(P\) là điểm thuộc đường tròn đó để tam giác \(MNP\) là tam giác cân. Hãy tìm số đo cung \(AP\).

Cách 1. Dùng hình vẽ, dễ dàng suy ra các kết quả sau

•.\(PN = PM \Leftrightarrow \) sđ cung \(AP = \dfrac{{13\pi }}{{24}} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\) (có hai điểm P như thế ứng với k chẵn và k lẻ)

•.\(NP = NM \Leftrightarrow \) sđ cung \(AP = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\).

•.\(MP = MN \Leftrightarrow \) sđ cung \(AP =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\).

Cách 2. Với ba điểm phân biệt \(M, N, P\) trên đường tròn định hướng tâm O gốc A, dễ thấy \(PM = PN\) khi và chỉ khi \(\widehat {POM} = \widehat {PON}\), do M khác N, ta có sđ \((OP, OM) +\) sđ \((OP, ON)\) = \(k2\pi \left( {k \in Z} \right)\), tức là sđ \((OA, OM)\) – sđ \((OA, OP)\)+ sđ \((OA, ON)\) – sđ \((OA, OP)\) =\(k2\pi \left( {k \in Z} \right)\).

Vậy \(PM = PN \Leftrightarrow \) sđ \(AP = \dfrac{1}{2}\)(sđ cung \(AM\) + sđ cung \(AN\)) + \(k\pi \left( {k \in Z} \right)\).

Từ đó suy ra :

•.\(PN = PM \Leftrightarrow \) sđ cung \(AP = \dfrac{{13\pi }}{{24}} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\) (có hai điểm \(P\) như thế ứng với \(k\) chẵn và \(k\) lẻ)

•.\(NP = NM \Leftrightarrow \) sđ cung \(AP = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\).

•.\(MP = MN \Leftrightarrow \) sđ cung \(AP =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\).