Trên các cạnh BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N và E sao cho \(CM=DN=DE=\frac{1}{3}BC.\)

\(\triangle AND=\triangle DCM\Rightarrow DAN=CDM\)

mà \(DAN+DNA=90^{\circ}\Rightarrow CDM+DNA=90^{\circ}\Rightarrow AN\perp DM\)

Suy ra AHMB là tứ giác nội tiếp \(AHM=ABM=90^{\circ}\)

Có ABME là hình chữ nhật

Suy ra A, B, M, H, E cùng thuộc một đường tròn

\(\Rightarrow EHB=90^{\circ}\Rightarrow EH\perp BH\)

+ \(\overrightarrow{EH}=\left ( \frac{9}{10};-\frac{7}{10} \right )\) là véc tơ pháp tuyến của BH

Phương trình đường thẳng BH là: \(\frac{9}{10}\left ( x-\frac{9}{10} \right )-\frac{7}{10}\left ( y-\frac{13}{10} \right )=0\)

\(\Leftrightarrow 9x-7y+1=0\)

+ \(B(a;b)\in BH\Leftrightarrow 9a-7b+1=0\Leftrightarrow b=\frac{9a+1}{7}\)

+ \(EH=\frac{\sqrt{130}}{10}\)

+ EAH = EBH (tính chất tứ giác nội tiếp)

\(\Rightarrow \tan EBH=\tan EAH=\frac{DN}{AD}=\frac{1}{3}\Rightarrow BH=\frac{3\sqrt{130}}{10}\)

Mà \(BH=\sqrt{\left ( \frac{9}{10}-a \right )^{2}+\left ( \frac{13}{10}-b \right )^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{9}{10}-a \right )^{2}+\left ( \frac{81-90a}{70} \right )^{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{13000a^{2}-23400a+10530}{70^{2}}}\)

Ta có phương trình: \(=\sqrt{\frac{13000a^{2}-23400a+10530}{70^{2}}}=\sqrt{\frac{1170}{100}}\)

\(\Leftrightarrow 130a^{2}-234a-468=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=3\Rightarrow b=4\\a=-\frac{78}{65}\Rightarrow b=-\frac{91}{65} \end{matrix}\)

Vậy B(3; 4) hoặc \(\left ( -\frac{78}{65};-\frac{61}{65} \right )\)