Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.

Gọi P là trung điểm của HC và N là giao điểm của MP với HK . Khi đó MP là đường trung bình của \(\Delta BCH\Rightarrow MP//BH\) mà \(BH\perp AI\Rightarrow MP\perp HK\)
Suy ra NP là đường trung bình của \(\Delta KCH\Rightarrow MP\) là đường trung trực của HK
Phương trình đường thẳng MP là \(x-2y-5=0\)
Toạ độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x-2y-5=0\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow M(1;-2)\)
Đường thẳng BCđi qua M và nhận \(\overrightarrow{IM}\) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình y =-2
Phương trình đường thẳng BH: x - 2y = 0. Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: 
\(\left\{\begin{matrix} y=-2\\ x-2y=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-4\\ y=-2 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(-4;-2)\)
Phương trình đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC: (x-1)^2+(y-3)^2=50\)
Phương trình đường thẳng \(AI: 2x+y-5=0\)

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 
\(\left\{\begin{matrix} 2x+y-5=0\\ (x-1)^2+(y-3)^2=50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=5-2x\\ (x-1)^2+(y-3)^2=50 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1+\sqrt{10},y=3-2\sqrt{10}\\ x=1-\sqrt{10},y=3+2\sqrt{10} \end{matrix}\)
Vì \(\Delta\)ABC nhọn nên A(\(1-\sqrt{10};3+2\sqrt{10}\))