YOMEDIA
NONE

Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để bất phương trình sau \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x} \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0.\)

Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để bất phương trình sau \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x}  \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0.\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x}  \ge 0\).

    Điều kiện xác định: \(x \ge 0.\)

    Bất phương trình tương đương với: \({x^2} + 6x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x}  \ge 2mx\,\,\,\left( 1 \right).\)

    Với \(x = 0,\,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 \ge 0,\) luôn đúng với mọi \(m.\)

    Với \(x > 0,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}}  \ge 2m.\)

    Đặt \(\sqrt {2\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}  = t,\,\,\,x > 0 \Rightarrow t \ge 2\) (theo AM-GM).

    \( \Rightarrow x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}}  = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 6\) \( = \frac{1}{2}\left( {{t^2} - 8t} \right) + 6 = \frac{1}{2}{\left( {t - 4} \right)^2} - 2 \ge  - 2\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(t = 4 \Leftrightarrow 2\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 16\)

    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + \frac{2}{x} - 16 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 16x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 + \sqrt {15} \,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4 - \sqrt {15} \,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)  

    Vậy \(x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}}  \ge  - 2,\forall x > 0.\)

    Vậy để bất phương trình \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x}  \ge 0\) đúng với mọi \(x \ge 0\) thì \(2m \le  - 2 \Leftrightarrow m \le  - 1.\)

      bởi thu phương 16/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON