Tìm m để hệ (m-1)x^2+3x+1=0 và mx^2-2x+5 < 0 có nghiệm

\(\begin{cases}\left(m-1\right)x^2+3x+1=0\\mx^2-2x+5<0\end{cases}\) (1)

\(\begin{cases}\left(m-1\right)x^2+3x+1=0\\mx^2-2x+5<0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}mx^2=x^2-3x-1\\x^2-3x-1-2x+5<0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}f\left(x\right):=\left(m-1\right)x^2+3x+1=0\\x^2-5x+4<0\end{cases}\)

Mà  \(x^2-5x+4<0\)  (3) có tập nghiệm T=(1;4)

nên hệ (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình \(f\left(x\right):=\left(m-1\right)x^2+3x+1=0\) (2) có đúng một nghiệm \(x\in T\)

- Nếu m=1 thì (2) có nghiệm duy nhất \(x=-\frac{1}{3}\) không thuộc T

- Nếu \(m\ne1\) thì (2) là phương trình bậc 2 với \(\Delta=13-4m\)

              + Nếu \(\Delta=0\)  hay \(m=\frac{13}{4}\)  thì (2) có nghiệm \(x=-\frac{2}{3}\) không thuộc T

              +  Nếu \(\Delta>0\)  hay \(m<\frac{13}{4}\)  thì (2) có nghiệm duy nhất thuộc T khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau :

                                 \(x_1\)  \(\le\)1 < \(x_2\)  < 4  (a)

                             hoặc

                                1< \(x_1\)  <4  \(\le\)   \(x_2\)    (b)

                           # Nếu \(x_1\) = 1 \(\Leftrightarrow\) m-1+3+1=0 \(\Leftrightarrow\) m=-3 thì \(x_2=-\frac{1}{4}\) không thỏa mãn(a)

                            # Nễu \(x_2=4\) hay \(m=\frac{3}{16}\) thì \(x_1=-\frac{4}{13}\) không thỏa mãn (b)

Vậy ta phải có 

                                     \(x_1\)  <1 < \(x_2\)  < 4 

                               hoặc 

                                     1< \(x_1\)  <4  <   \(x_2\)  

\(\Leftrightarrow\) \(f\left(1\right)f\left(4\right)<0\)

\(\Leftrightarrow\) (m+3)(16m-3) <0

\(\Leftrightarrow\) -3<m<\(\frac{3}{16}\)  Thỏa mãn điều kiện \(\Delta>0\)

Tóm lại -3<m<\(\frac{3}{16}\)  là các giá trị cần tìm