YOMEDIA
NONE

Tìm GTNN của P=ab/c+bc/a+ca/b

Cho a,b,b là các số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Linh

    Lời giải:

    Ta có:

    \(P=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=\frac{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}{abc}\)

    Xét tử số:

    \(\text{TS}=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\)

    \(\Rightarrow \text{TS}^2=a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4+2(a^2b^4c^2+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2)\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(\left\{\begin{matrix} a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2\\ b^4c^4+c^4a^4\geq 2a^2b^2c^4\\ c^4a^4+a^4b^4\geq 2a^4b^2c^2\end{matrix}\right.\)

    Cộng theo vế và rút gọn:

    \(\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^4c^2+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2\)

    Do đó:

    \(\text{TS}^2\geq 3(a^2b^4c^2+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2)=3a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)=3a^2b^2c^2\)

    \(\Rightarrow \text{TS}\geq \sqrt{3}abc\)

    \(\Rightarrow P\geq \sqrt{3}\)

    Vậy \(P_{\min}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

      bởi Nguyễn Linh 23/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON