Phân tích vecto EG theo 2 vecto AB và AC biết vt BC=2 vt CG

Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EB=2EA, 2AF=3FC. Gọi G là điểm sao cho $\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{CG}$, M, N lần lượt là trung điểm EF và BC.

a/CMR: $\overrightarrow{AM}$=$\dfrac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$+$\dfrac{3}{10}$$\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{MN}$= $\dfrac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\dfrac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$

b/ Phân tích vecto $\overrightarrow{EG}$, $\overrightarrow{FG}$ theo 2 vecto $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$

c/Chứng minh rằng 3 điểm E,F,G thẳng hàng.

Theo dõi Vi phạm

Trả lời (1)

Lời giải:

a) Vì $M$ là trung điểm của $EF$ nên $\overrightarrow {ME}+\overrightarrow{MF}=0$, tương tự $\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=0$

Từ đkđb ta cũng có $AE=\frac{1}{3}AB;AF=\frac{3}{5}AC$

Ý 1:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EM}\\ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FM}\end{matrix}\right. $

$\Rightarrow 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}-(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{10}\overrightarrow{AC}$

Ý 2:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BN}\\ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CN}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}-(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC})$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$

b)

Theo đkđb ta có: $\overrightarrow{BG}=3\overrightarrow{CG}$

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}\\ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}\\ 3\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{CG}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Lại có:

$\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AG}=\frac{-1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AG}=\frac{-3}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{9}{10}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

c) Từ phần b ta thấy $\frac{3}{5}\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{FG}\Rightarrow E,G,F$ thẳng hàng.

bởi Dương Dung 02/11/2018

Like (0) Báo cáo sai phạm