Một phân xưởng may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may 1 áo vest hết 2m vải và cần 20 giờ; 1 quần âu hết 1,5 m vải và cần 5 giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải và số giờ công không vượt quá 6 000 giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo và không vượt quá 2 lần số lượng áo. Khi xuất ra thị trường, 1 chiếc áo lãi 350 nghìn đồng, 1 chiếc quần lãi 100 nghìn đồng. Phân xưởng cần may bao nhiêu áo vest và quần âu để thu được tiền lãi cao nhất (biết thị trường tiêu thụ luôn đón nhận sản phẩm của xí nghiệp).

Gọi số lượng áo bán vest và quần âu cần may lần lượt là x,y (cái). \((x,y \in \mathbb{N})\)

Số mét vải để may x áo và y quần là: \(2x + 1,5y\left( m \right)\)

Vì xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải nên ta có: \(2x + 1,5y \le 900\left( 1 \right)\)

Số giờ để may x áo và y quần là: \(20x + 5y\) (giờ)

Vì số giờ công không vượt quá 6 000 giờ nên ta có: \(20x + 5y \le 6000\) hay \(4x + y \le 1200\) (2)

Theo khảo sát thị trường, ta có:

Số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo nên \(y \ge x\)(3)

Số lượng quần không vượt quá 2 lần số lượng áo nên \(y \le 2x\) (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) nên ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1,5y \le 900}\\{4x + y \le 1200}\\{y \ge x}\\{y \le 2x}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1,5y \le 900}\\{4x + y \le 1200}\\{x - y \le 0}\\{2x - y \ge 0}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {180;360} \right),B\left( {200;250} \right),C\left( {240;240} \right)\)

Tiền lãi khi bán x cái áo và y cái quần là 350x + 100y (nghìn đồng).

Đặt T = 350x + 100y.

Ta có biểu thức T = 350x + 100y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC.

Tính giá trị biểu thức T tại các đỉnh của tứ giác:

Tại O(0; 0), với x = 0  và y = 0  thì T = 350.0 + 100.0 = 0;

Tại A(180; 360), với x = 180 và y = 360 thì T = 350.180 + 100.360 = 99 000;

Tại B(225; 300), với x = 225 và y = 300 thì T = 350.225 + 100.300 = 108 750;

Tại C(240; 240), với x = 240 và y = 240 thì T = 350.240 + 100.240 = 108 000;

Ta được T đạt giá trị lớn nhất bằng 108 750 000 đồng khi x = 225, y = 300.

Vậy để thu được tiền lãi là cao nhất thì phân xưởng cần may 225 cái áo vest, 300 cái quần âu.