Giải phương trình căn(33-2x-x^2)=(2-căn(x+1))^2

Ta có :  \(\sqrt{33-2x-x^2}=\left(2-\sqrt{x+1}\right)^2\Leftrightarrow\sqrt{34-\left(1+x\right)^2}=\left(2-\sqrt{x+1}\right)^2\)

Giải phương trình có nghiệm là x :

Đặt\(\begin{cases}u=\sqrt{1+x};u\ge0\\v=2-\sqrt{1+x}\end{cases}\), khi đó : 

                               \(v^4=\left(2-\sqrt{1+x}\right)^4=\left(\sqrt{34-\left(1+x\right)^2}\right)^2=34-\left(1+x\right)^2=34-u^4\)

Ta thu được hệ :

     \(\begin{cases}u+v=2\\u^4+v^4=34\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=2\\\left(u+v\right)^4-4uv\left(u+v\right)^2+2u^2v^2=34\end{cases}\)

                                \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=2\\\left(uv\right)^2-8uv-9=0\end{cases}\)

                                \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=2\\uv=9\end{cases}\) (vô nghiệm) hoặc \(\Rightarrow\begin{cases}u+v=2\\uv=-1\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}u+v=2\\uv=-1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u=1-\sqrt{2}< 0\\v=2+\sqrt{2}\end{cases}\) hoặc \(\Leftrightarrow\begin{cases}u=1+\sqrt{2}\\v=1-\sqrt{2}\end{cases}\)

Với \(u=1+\sqrt{2}\) ta tìm được \(x=2+2\sqrt{2}\)

Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất : \(x=2+2\sqrt{2}\)