Giải hệ pt x^5+y^4x=y^10+y^6 và căn(4x+5)+căn(y^2+8)=6

\(\begin{cases}x^5+y^4x=y^{10}+y^6\left(1\right)\\\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6\left(2\right)\end{cases}\)

Đk: \(x\ge\frac{-5}{4}\)

Dễ thấy y=0 không là nghiệm của hệ (1), Với \(y\ne0\), chia 2 vế của pt (1) cho y⁵, đc:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{x^5}{y^5}+\frac{x}{y}=y^5+y\left(3\right)\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left(t\right)=t^5+t\left(t\in R\right)\) có \(f'\left(t\right)=5t^4+1>0\forall t\in R\)

Do đó \(\left(3\right)\Leftrightarrow\frac{x}{y}=y\Leftrightarrow x=y^2\ge0\)

Thay x=y² vào (2) đc \(\sqrt{4x+5}+\sqrt{x+8}=6\)  

Đk: \(-8\le x\le-\frac{5}{4}\)

Bình 2 vế của (2) đc: 

\(4x+5+x+8+2\sqrt{\left(4x+5\right)\left(x+8\right)}=36\)

\(\Leftrightarrow5x+13+2\sqrt{\left(4x+5\right)\left(x+8\right)}=36\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(4x+5\right)\left(x+8\right)}=5x-23\)

Tiếp tục bình lên có

\(16x^2+148x+160=25x^2-230x+529\)

\(\Leftrightarrow-9\left(x^2-42x+41\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-42x+41=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-41x-x+41=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-41\right)-\left(x-41\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-41\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\left(tm\right)\\x=41\left(loai\right)\end{array}\right.\).Với \(x=1\Rightarrow x=y^2\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-1\\y=1\end{array}\right.\)

Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1;1),(1;-1)