Giải hệ phương trình sau trên tập số thực \(\left\{\begin{matrix} 6x^3+3x^2+y=y^2+xy(3x-2)

ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x-1\geq 0\\ 4x^2-y-2\geq 0 \end{matrix}\right. (*)\)
Ta có \((1)\Leftrightarrow y^2+(3x^2-2x-1)y-(6x^3+3x^2)=0\)
Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn y, ta có:
\(\Delta =(3x^2-2x-1)^2+4(6x^2+3x^2)=9x^4+12x^3+10x^2+4x+1\)
\(=(3x^2+2x+1)^2\)
Pt (1) có hai nghiệm: \(\Bigg \lbrack \begin{matrix} y=\frac{-3x^2+2x+1-3x^2-2x-1}{2}=-3x^2\\ \\ y=\frac{-3x^2+2x+1+3x^2+2x+1}{2}=2x+1 \end{matrix}\)
Từ pt (2) ta có \(y-1\geq 0\Leftrightarrow y\geq 1\), do đó \(y=-3x^2\) không thỏa mãn
Thay y = 2x +1 vào phương trình (2) ta được\(\sqrt{4x^2-2x-3}+\sqrt{x-1}=2x(3)\)
điều kiện: x \(\geq\) 2
\((3)\Leftrightarrow \sqrt{4x^2-2x-3}-(2x-1)+(\sqrt{x-1}-1)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{2(x-2)}{\sqrt{4x^2-2x-3}+2x-1}+\frac{x-1}{\sqrt{x-1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left ( \frac{2}{\sqrt{4x^2-2x-3}+2x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1 } \right )=0\)
\(\Leftrightarrow x=2\) (vì \(\frac{2}{\sqrt{4x^2-2x-3}+2x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1 }>0,\forall x\geq 2\))
Với x = 2 thì y = 5
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ PT là (2;5).