Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x-y-1=ln\frac{y^2+4y+5}{x^2+2x+2}

Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} x-y-1=ln\frac{y^2+4y+5}{x^2+2x+2} \ \ (1)\\ 6\sqrt[3]{y}+2(y+1)\sqrt{x+2}=2x^2-y+1 \ \ (2) \end{matrix}\right.\) ĐK: \(x\geq -2\)
Ta có \((1)\Leftrightarrow x+1+ln(x^2+2x+2)=y+2+ln(y^2+4y+5)\)
\(\Leftrightarrow x+1+ln((x+1)^2+1)=y+2+ln((y+2)^2+1)(*)\)Xét hàm \(f(t)=t+ln(t^2+1),t\in R\). Ta có \(f'(t)=1+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{(1+t)^2}{1+t^2}\geq 0 \ \forall t\in R\), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = -1.
Nên f(t) đồng biến trên R theo (*) suy ra \(f(x+1)=f(y+2)\Leftrightarrow x+1=y+2\Leftrightarrow x=y+1\)
Thay vào (2) ta được \(6\sqrt[3]{x-1}+2x\sqrt{x+2}=2x^2-x+8 \ \ (3)\)
Xét \(x\leq 1\Rightarrow 6\sqrt[3]{x-1}+2x\sqrt{x+2}\leq 2\sqrt{3}<7<2x^2-x+8\) nên (3) không có nghiệm trên \((-\infty ;1]\)
Xét x >1, khi đó \(6\sqrt[3]{x-1}+2x\sqrt{x+2}\leq 2((x-1)+1+1)+x\frac{4+(x+2)}{2}=\frac{x^2+10x+4}{2}\)
Mà \(\frac{x^2+10x+4}{2}\leq 2x^2-x+8\Leftrightarrow \frac{3}{2}(x-2)^2\geq 0\). Do đó (3) xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Do đó hệ có nghiệm (x;y) = (2;1) (thỏa mãn điều kiện)