Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{(x+1)^{2}}=\frac{y}{x+1}-\frac{1+y}{y}

Điều kiện: \(x\neq -1;y>0\)

\(x-\frac{1}{(x+1)^{2}}=\frac{y}{x+1}-\frac{1+y}{y}\Leftrightarrow x+\frac{1+y}{y}=\frac{y}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^{2}}\Leftrightarrow \frac{xy+y+1}{y}=\frac{y(x+1)+1}{(x+1)^{2}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{xy+y+1}{y}-\frac{y(x+1)+1}{(x+1)^{2}}=0\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} xy+y+1=0\\y=(x+1)^{2} \end{matrix}\)

Với \(y=(x+1)^{2}\) thay vào pt \(\sqrt{8y+9}=(x+1)\sqrt{y}+2\) ta có:

\(\sqrt{8(x+1)^{2}+9}=(x+1)\left | x+1 \right |+2\)

Xét x > -1. Đặt t = x + 1 (t > 0). Ta có pt:

\(8t^{2}+9=t^{2}+2\Leftrightarrow 8t^{2}+9=t^{4}+4t^{2}+4\Leftrightarrow t^{4}-4t^{2}-5=0\Leftrightarrow \lbrack\begin{matrix} t^{2}=-1\\t^{2}=5 \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow t^{2}=5\Leftrightarrow t=\pm \sqrt{5}\Rightarrow t=\sqrt{5}\Rightarrow x=-1+\sqrt{5}\Rightarrow y=5\)

Xét x < -1. Đặt t = x + 1 (t < 0). Ta có pt:

\(8t^{2}+9=-t^{2}+2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8t^{2}+9=t^{4}-4t^{2}+4\\-t^{2}+2\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t^{4}-12t^{2}-5=0\\2\geq t^{2} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \big \lbrack\begin{matrix} t^{2}=6-\sqrt{41}\\t^{2}=6+\sqrt{41} \end{matrix}\\2\geq t^{2} \end{matrix}\right.\)

Hệ vô nghiệm

Với (x + 1)y = -1 thay vào \(\sqrt{8y+9}=(x+1)\sqrt{y}+2\) ta có: \(8y+9+\frac{1}{y}\sqrt{y}-2=0\; \;(3)\)

Vì y > 0 suy ra 8y + 9 > 9 suy ra 8y + 9 > 3 ⇒ pt (3) vô nghiệm

Vậy pt đã cho có nghiệm \(\left\{\begin{matrix} x=-1+\sqrt{5}\\ y=5 \end{matrix}\right.\)