Giải bất phương trình sau: \(\dfrac{3}{{\left| {x + 3} \right| - 1}} \ge \left| {x + 2} \right|\)

Điều kiện \(\left| {x + 3} \right| \ne 1 \Leftrightarrow x + 3 \ne 1\) và \(x + 3 \ne  - 1\) hay \(x \ne  - 2\) và \(x \ne  - 4.\)

* Nếu \(x < -3\), bất phương trình đã cho tương đương với

\(\eqalign{& {3 \over { - x - 3 - 1}} \ge - x - 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 4}} \le x + 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 4}} - \left( {x + 2} \right) \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{3 - \left( {{x^2} + 6x + 8} \right)} \over {x + 4}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{ - {x^2} - 6x - 5} \over {x + 4}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2} + 6x + 5} \over {x + 4}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x \in \left[ { - 5; - 4} \right). \cr} \)

* Nếu \(-3 ≤ x < -2\), bất phương trình đã cho tương đương với

\(\eqalign{& {3 \over {x + 2}} \ge - x - 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 2}} + x + 2 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{3 + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {x + 2}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x \ge - 2. \cr} \)

Không có x thỏa mãn yêu cầu điều kiện \(-3 ≤ x < -2.\)

* Nếu \(x > -2\), bất phương trình đã cho tương đương với

\(\eqalign{& {3 \over {x + 2}} \ge x + 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 2}} - \left( {x + 2} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow 3 - {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 - x - 2} \right)\left( {\sqrt 3 + x + 2} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow - 2 - \sqrt 3 \le x \le 2 - \sqrt 3 . \cr} \)

Vậy \( - 2 < x \le 2 - \sqrt 3 .\)

Kết luận. \(x \in \left[ { - 5; - 4} \right) \cup \left( { - 2;2 - \sqrt 3 } \right].\)