Giải bất phương trình sau đây \({x^2} - 2\left| {x - 1} \right| + 2 > 0\).

Trường hợp 1: \(x - 1 \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \ge 1\)

Bất phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} - 2\left( {x - 1} \right) + 2 > 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 3 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 3 > 0\,\,\,\forall \,x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Vậy bất phương trình có nghiệm là \(x \ge 1\).

Trường hợp 2: \(x - 1 < 0\)\( \Leftrightarrow x < 1\)

Bất phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2\left( { - x + 1} \right) + 2 > 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 2 + 2 > 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x > 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x <  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(x < 1\) ta được nghiệm thỏa mãn hệ phương trình sau :

\(\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x <  - 2\end{array} \right.\)

Kết hợp trường hợp 1 và trường hợp 2 , ta được nghiệm của bất phương trình là \(\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x <  - 2\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left( {0;\,\, + \infty } \right)\).